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histoire de péniche
Bonjour tout le monde,
J'ai un dm et je bloque sur un exo donc si vous pouviez m'aider, ce serait sympa. Voilà l'énoncé:
On considére une péniche, sur un canal rectiligne, tirée par un cheval situé au bord du canal. La péniche et le cheval sont reliés par une corde de longueur 1.
Au départ (à l'instant t=0), la corde est perpendiculaire au bord du canal. On construit un repère orthonormé direct dont la direction [Ox) est au bord du canal et dirigée dans le sens du mouvement. On notera (x(t),y(t)) les coordonnées de la péniche (assimilée à un point) au temps t. On supposera que le cheval a une vitesse constante et que ses coordonnées au temps t sont (t,0).
1)Expliquer pourquoi, pour tout t superieur ou égal à 0, on a (x(t)-t)**2+y**2(t)=1 (lire t**2: t au carré)
2)La vitesse de la péniche est parallèle à la corde0 Traduire cela par une équation.
3)Combiner (ou dériver) les équations précédentes pour montrer que pour tout t superieur ou égal à 0 on a :
x'(t)=(x(t)-t)**2 : (E)
4)Le but de cette question est de résoudre (E) sur R+.
a) (E) est une équation dite de Ricatti. En trouver une solution particulière x0 au cas où la corde est parallèle au bord et où la péniche longe le bord.
b)Quelle est l'équation (F) vérifiée par z(t)=x(t)-x0(t) ?
En quoi cette méthode diffère t elle de celle à laquelle on est habituée (variation de la constante) ?
Dans quelle position est la péniche au temps t si z s'annule au temps t
On suppose désormais que z ne s'annule pas. Ecrire l'équation précédente sous la forme :
z'/z^alpha=(C/z^(alpha-1))+D où alpha est un entier à préciser et C et D des constantes.
c)Choisir un entier béta de telle façon que si z vérifie (F) alors u=1/(z^(béta-1)) vérifie l'équation (G) : u'=2u-1.
Si u vérifie (G), a-t-on aussi 1/(u^(1/(béta-1))) solution de (F) ?
d) Decrire l'équation (G) puis la résoudre.
e) Donner les solutions jamais nulles de (F)
f) Trouver en fonction du temps t l'abscisse de la péniche.
Je sais que c'est assez long mais si vous pouviez m'aider.
Merci d'avance.
En fait, la première question j'ai à peu près trouvé mais je ne vois après comment exprimer la vitesse parallèle à la corde
allez je suis sûr qu'il y en a bien un d'entre vous qui pêut me dépanner
1) cela exprime qu ela longueur de la corde est égale à 1... (x-t)²+y²=1
2) le vecteur vitesse (x' , y') est colinéaire à la corde (x-t, y) donc x'/(x-t)=y'/y
3) en dérivant (x-t)²+y²=1 il vient (x-t)(x'-1)+yy'=0 soit (x-t)²(x'-1)+y²x'=0 et comme (x-t)²+y²=1,
x'=(x-t)²
4a) si la péniche longe le bord y=0 et x0(t)=t-1
b) t=x0+1 donc x-t=z-1 d'où x'-1=z' et on peut écrire E: z'=(z-1)²-1 ou z'=z²-2z
la variation de constante qui s'applique aux équations linéaires recherche un quotient, et ici une différence ; dans la variation de constante on part d'une solution générale pour trouver une solution particuliére, ici on fait l'inverse...(je ne comprends pas très bien la question...)
Si z=0, x-t=1 et y=0 la péniche est au bord du quai
On peut encore écrire l'équation z'/z²=-2/z+1
c) Si u=1/z, u'=-z'/z² donc u'=2u-1 (béta=2 donc 1/(béta-1)=béta-1=1 et 1/u=z)
d) (2u-1)'/(2u-1)=2u'/(2u-1)=2 donc ln(2u-1)-ln(2u(0)-1)=2t
2u-1=(2u(0)-1)e^2t avec u(0)=1/z(0)=1/(x(0)+1) et 2u(0)-1=(1-x(0))/(1+x(0))
u=(1-x(0))/(1+x(0))e^2t/2+1/2 ...
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