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histoire de rang
Bonsoir,
je sollicite votre aide sur les rangs des familles
Soit F une famille à p vecteur d'un K-ev E de dimension n, alors
F est g´en´eratrice de E si et seulement si RgF = n.
F est libre dans E si et seulement si RgF = p.
F est une base de E si et seulement si RgF = n = p.
je ne vois pas comment démontrer ces propriétés.
Merci d'avance pour votre aide 
Bonjour karim,
F est g´en´eratrice de E si et seulement si RgF = n
C'est faux! A moins que ton énoncé ne précise aussi
Idem pour le deuxième.
Ayoub.
Bonjour.
J'appelle G le sous-espace de E engendré par la famille F : G = vec(F) = vec(x1 , ... , xp).
Naturellement, G est un sous-espace de E et dim(G) = rg(F) = rg(x1 , ... , xp).
1°) G = E <=> dim(G) = n <=> rg(F) = n
2°) C'est la définition du rang : F libre <=> rg(F) = p
3°) F base de E <=> F est libre dans E et génératrice de E <=> rg(F) = n = p.
A plus RR.
Bonjour Raymond, karim et Ayoub
Il me semble que la définition du rang d'une famille est la dimension du sous-espace engendré par ladite famille...
>Ayoub Non, pas besoin de précision sur p, le rang est n ssi E=F, c'est-à-dire si F est génératrice.
>Raymond La réponse à 2°) est un peu plus subtile: F ayant p vecteurs, rg F=p si et seulement si ces vecteurs forment une base de F c'est à dire si et seulement si la famille est libre.
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