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histoire de suite

Posté par shoulz (invité) 02-05-05 à 22:26

Rebonsoir,

voila tout ce que j'aime pas....

on me donne une suite numerique Un definie par:

Un=1/((n²+1) + 1/(n²+2) +... +1/(n²+(k-1)) + 1/(n²+k)

1) on pose k=2n+1
determiner a l'aide d'un encadrement la limite de Un quand n tend vers l'infini

2)on pose k=n²
determiner a l'aide d'une minoration la limite Un quand n tend vers l'infini

Des le depart je bloque...

merci d'avance...

Posté par
H_aldnoerquelques indications 03-05-05 à 00:32

slt


3$U_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+(k-1)}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+k}}

1)
3$k=2n+1
soit
3$\frac{k}{2}=\frac{2n+1}{2}=n+\frac{1}{2}
3$\begin{tabular}U_n&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+n+\frac{1}{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2n+1}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{1}{\sqrt{\frac{2n^2+2n+1}{2}}}+...+\frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)^2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+sqrt{\frac{2}{2n^2+2n+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}+\frac{1^2}{\sqrt{(n+1)^2}}\\&=&\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+...+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2n^2+2n+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{n(n+2)}}+|\frac{1}{\sqrt{(n+1)}}|\end{tabular}

3$\textrm pour n=1, on a
3$\begin{tabular}U_1&=&\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{1^2+2}}+...+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2\times 1^2+2\times1+1}}+...+\frac{1}{\sqrt{1(1+2)}}+|\frac{1}{\sqrt{(1+1)}}|\\&=&\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{3}}+|\frac{1}{\sqrt{2}}|\\&=&\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}+...+\frac{\sqrt{10}}{5}+...+\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}\\&\approx&0.707+0.577+...+0.632+...0.577+0.707\end{tabular}

il se fait tard et si ca continue je vais ecrire n'importe quoi ...on verra ceci demain


@+ sur l'_ald_

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 00:51

Bonjour

Tout d'abord on sait que : n²+2n+1 = (n+1)²

On a : U_n = \sum\limits_{m = 1}^{2n + 1} {\frac{1} \\ {{\sqrt {n^2  + m} }}} , or 1 \leq m \leq 2n + 1 \Leftrightarrow n^2  + 1 \leq n^2  + m \leq n^2  + 2n + 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {n^2  + 1} }} \geq \frac{1}{{\sqrt {n^2+ m} }} \geq \frac{1}{{n + 1}}, donc on a: \sum\limits_{m = 1}^{2n + 1} {\frac{1}{{\sqrt {n^2  + 1} }}}  \geq \sum\limits_{m = 1}^{2n + 1} {\frac{1}{{\sqrt {n^2  + m} }}}  \geq \sum\limits_{m = 1}^{2n + 1} {\frac{1}{{n + 1}}}  \Leftrightarrow \frac{{2n + 1}}{{\sqrt {n^2  + 1} }} \geq U_n  \geq \frac{{2n + 1}}{{n + 1}},donc d'après le théorème des gendarmes , U_n tend vers +oo.

Pour la deuxième , tu utilises la même méthode.

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 00:54

pardon limite de U_n est de 2 , et pour la deuxième c'est +oo
pourquoi mon latex ne marche pas ?

Posté par guille64 (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 01:27

Tu sais Yalcin... le Latex c'est plus que c'était! lol
Tu me diras si c'est un garçon ou une fille?

ok ok je sors (cé ti pas cochon ca !)

à + et bonne nuit

Anonyme

Posté par
H_aldnoerre : histoire de suite 03-05-05 à 01:38

slt


voila je pense que le raisonnement le plus correct est celui de Yalcin ...je vais editer son post en esperant ne pas faire d'erreur au niveau du raisonnement :

3$U_n=\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+m}}

or :
3$\begin{tabular}1\le m\le2n+1\Longleftrightarrow n^2+1\le n^2+m\le n^2+2n+1\Longleftrightarrow\sqrt{n^2+1}\le\sqrt{n^2+m}\le\sqrt{n^2+2n+1}\Longleftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\ge\frac{1}{\sqrt{n^2+m}}\ge\frac{1}{sqrt{n^2+2n+1}}\end{tabular}

donc on a :
3$\begin{tabular}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\ge\frac{1}{\sqrt{n^2+m}}\ge\frac{1}{sqrt{n^2+2n+1}}\Longleftrightarrow\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}\ge\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+m}}\ge\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{sqrt{n^2+2n+1}}\Longleftrightarrow\frac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}\ge U_n\ge\frac{2n+1}{n+1}\end{tabular}

on a deplus :
3$\textrm\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}=2 et \textrm\lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2 donc d'apres le theorem des gendarmes \lim_{n\to+\infty}U_n=2

personnellement je ne comprends pas le passage avec les sommes :

- l'inégalité conserve son sens par passage aux sommes mais pourquoi ?

- et aussi pourquoi a t on les egalités suivantes ?
3$\textrm\fbox{\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}=\frac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}} et \fbox{\sum_{m=1}^{2n+1}\frac{1}{sqrt{n^2+2n+1}}=\frac{2n+1}{n+1}}

merci de me répondre et :* image externe expirée *

@+ sur l' _ald_

Posté par guille64 (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 02:41

Bonsoir,

Je ne suis pas un roi du Latex, alors voilà mes résultats en bref

1) on pose k=2n+1
determiner a l'aide d'un encadrement la limite de Un quand n tend vers l'infini

Ok pour la définition de Un donnée par Yalcin

pour l'endrement, on doit avoir :

1/(n²+2n+1)<= 1/(n²+m)<=1/(n²+1)<=1/n
Autrement dit :
1/(n+1)<= 1/(n²+m)<=1/n

Maintenant si on élève ces résultats en somme de m=1 à m=2n+1
On doit avoir :
Pour rappel :
somme des entiers de 1 à 2n+1 = (2n+1)(2n+2)/2
                              = (n+1)(2n+1)
                              = 2n²+3n+1

(n+1)(2n+1)×1/(n+1)<= Un <=(2n²+3n+1)×1/n
(2n+1)<=Un<=2n+3+1/n

Or lim (2n+1) = +oo pour n-->+oo
et lim (2n+3+1/n)=+oo pour n-->+oo

Je veux bien croire que l'énoncé laisse penser à l'utilisation du théorème des gendarmes et donc une limite finie, mais a priori on a bien limite de Un=+oo pour n-->+oo avec k=2n+1


2)on pose k=n²
determiner a l'aide d'une minoration la limite Un quand n tend vers l'infini

a)On doit avoir avec 1<=m<=n²
1/(n²+n²)<=1/(n²+m)
1/n2<=1/(n²+m) Expression (1)

b)Posons Vn = somme pour m=1 à n de 1/(n²+m)
On doit avoir Vn<Un (car n<=n² quelque soit n)

c)On élève en somme pour m=1 à n les deux membres de l'Expression (1)
on aura :
n(n+1)/2 × 1/n2 <= Vn
Autrement dit

(n+1)/22 <=Vn

Or lim (n+1)/22 = +oo pour n-->+oo
donc Vn -->+oo pour n-->+oo

d)Conclusion
D'après b) on a Vn<=Un or vn-->+oo pour n-->+oo

donc Un-->+oo pour n-->+oo avec k=n²

Voilà,
Dire si pb
à bientôt

Guille64

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 07:55

Merci a vous trois pour toutes ses explications ...je vois qu'il y en a qui aime travailler la nuit ....je vais essayer de decripter tous ses resultats maintenant...

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 08:19

pour reprendre H_aldnoere .... je ne comprend pas le passage avec les sommes de yalcin...

en tout cas H_aldnoer ils sont superbes tes smileys...comment  fais tu pour les avoir...

Posté par
H_aldnoerre : histoire de suite 03-05-05 à 08:33

slt shoulz !


dis donc tu nous assomes en ce moment de boulot avec tout tes exos ...

pour les smiley va faire un tour sur ce site

* image externe expirée *


@+ sur l' _ald_

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 08:37

je suis asser fier de poser ce genre d'exo!...ca change un petit peu...

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 10:50

euhhh .... est ce que quelqu'un peut m'expliquer qu'elles sont les bonnes solution de cet exercice!  car la je m'y retrouve plus!
pour le premiere question: Un en +infini .... c'est 2 ou +infini

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 11:39

la mienne est correcte (j'en fais tellement que je suis sûr de moi)
L'inégalité conserve son signe car on a : 1 < = m < = 2n+1
Et puis pour (2n+1)/(n+1) , on a pas de variable m , donc toujours la même chose et on multiplie par (2n+1) , l'autre somme aussi

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 11:48

Merci pour ces explications yalcin!

Posté par
H_aldnoerre : histoire de suite 03-05-05 à 11:50



dsl mais moi je ne comprends pa Yalcin ...

peut tu etre plus précis quant a mes questions ??

merci !

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 12:12

faisons appel a un grand...PHILOUX...peux tu expliquer le raisonnement de yalcin...car par politesse je lui ai dis merci...mais je n'ai pas eu le temps de lui dire que cela manquait de precision pour que je puisse comprendre (c'esr vraiment une habitude chez moi... )

Posté par philoux (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 12:17

shoulz, ne fais plus ce type de remarques, stp.
tes paroles(écrits) ont dépassé ta pensée

yalcin et d'autres donnent en fonction de leur temps/moyens/envies...

Sur ce sujet, je suis léger et laisse la main à plus balèzes

Philoux

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 12:21

...je parle un petit peu trop....pardon!  

je tiens a remercier H_aldnoer pour sa patience a m'aider a resoudre ce probleme et surtout a comprendre...

J'espere pouvoir me faire pardonné...

Posté par guille64 (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 13:21

Salut Shoulz,

ok sans rancune, il devait se faire tard :

effectivement en bref on a Un--> 2 pour n-->+oo (les égalités sont justes... il ne s'agit pas de faire la somme des 2n+1 premiers entiers, mais bien de sommer (2n+1) fois le membre 1/rac(n²+1)))

Pour k=n²
En bref,
Il te suffit de minorer par 1/rac(n²+n²) < 1/(n²+m)

autrement dit :
on a au final n²/n×rac(2)< Un
soit n/rac(2) < Un

or lim n/rac(2)= +oo pour n --> +oo
donc lim Un=+oo

à bientôt

Guille64

Posté par shoulz (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 13:27

guille64...M E R C I....

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 14:02

j'espère que vosu avez compris grâce à guille64 , j'ai pas le temps pour expliquer tout ( j'ai des devoirs de 1èreS = svt,histoire ,français,etc..  à faire c'est pour ça)
Bonne journée

Posté par
H_aldnoerre : histoire de suite 03-05-05 à 17:29

slt Yalcin !

en ce qui mer concerne je n'ai toujours pa eut de reponses qui satisfont a mes question (cf mon topic)

merci pour l'aide !

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 17:49

c'est un peu long en fait à expliquer

Posté par
H_aldnoerre : histoire de suite 03-05-05 à 18:30

tu pourrait peut être me l'envoyer par scan ??

encore merci ...

Posté par Yalcin (invité)re : histoire de suite 03-05-05 à 23:07

je n'ai pas de scanner , demandes à un prof de ce site (il aura le temps peut être)

Posté par guille64 (invité)re : histoire de suite 06-05-05 à 08:12

Salut H_aldnoer,

Il faut que tu te penches bien sur les sommes :
Voilà quelques exemples en espérant que ca aide ta compréhension
(par contre tjrs pas de latex en ce qui me concerne... je sors pas couvert! oh!!!)

Somme de k=1 à k=2n+1  de 1 = 1 + 1 + ... + 1 (2n+1 fois)
Donc Somme de k=1 à k=2n+1  de 1 = 2n+1

Somme de k=1 à k=2n+1  de n = n + n + ... + n (2n+1 fois)
Donc Somme de k=1 à k=2n+1  de n = n(2n+1)

Somme de k=1 à k=2n+1  de k = 1 + 2 + 3 ... + 2n + 2n+1 (ici on fait bien varier k qui est la variable incrémentée!!)
Donc Somme de k=1 à k=2n+1  de k = somme des (2n+1) premiers entiers
soit Somme de k=1 à k=2n+1  de k = (2n+1)(2n+2)/2

Somme de k=1 à k=2n+1 de (1/rac(n²+1)) = (1/rac(n²+1)) + (1/rac(n²+1)) + (1/rac(n²+1)) + ... + (1/rac(n²+1)) (2n+1 fois)
Donc Somme de k=1 à k=2n+1 de (1/rac(n²+1)) = (2n+1)/(rac(n²+1))

Voilà,
Donnes toi des exemples et proposes-les éventuellement sur le site tu trouveras tjrs du monde pour te corriger
à bientôt

Guille64


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