Bonjour

On doit pouvoir passer par des espaces quotients, mais si tu n'as pas vraiment un arsenal de théorèmes c'est délicat!

D'autre part, comme est clairement homéomorphe à et comme est une partie d'un espace vetoriel de dimension (les symétriques) caractérisé par le fait que les mineurs principaux sont strictement positifs, (crotère de Sylvester) ça doit pouvoir se faire à la main...

Pour n=2, ça marche!



est bien un homéomorphisme!

A partir de là, j'essayerais bien une récurrence...

Salut!
Je ne sais pas si le resultat est bon, (a vue de nez je dirai oui en tant qu'espace, mais pas du tout en tant que groupe topologique).
Tu peux proceder comme suit, note p l'application que a une matrice de GL asscie sa matrice de On (vu dans la decomposition polaire OnxS+), puis de meme q l'application qui a une matrice de GL associe sa matrice de On (vu cette fois comme decomposition OnxB+).
Maintenant est ce que p(A)=q(A)?
Si oui alors ton truc c'est un homeo, prend par exemple les matrice qui s'envoient sur l'identité dans On, alors p^{-1}(In)=S+ s'envoie sur q^{-1}(In)=B+ et reciproquement, par des applications continues et reciproques l'une de l'autre.

C'est surement vrai en tant qu'espace... Je pense qu'ils sont tous les deux homéomorphes à l'espace homogène (quotient par sous-groupe compact...) mais j'aimerais bien savoir à quoi on a droit... pas envie de remettre l'expérience algébrique ...

Bonjour Camélia, oui le seul truc a verifier que l'identité est equivariente sous l'action de O(n) des deux cotés (ce qui est en fait ce qui est caché dans mon message), honnetement je ne me souviens plus de la tete de l'homeo de GL sur B+xO(n) (shame on me), donc je sais pas!

Bonjour Camélia,
la récurrence dont tu parles permettrait d'associer à une matrice de B+(n) une matrice de S+(n) en la donnant?
Pour n = 2, c'est simple mais ensuite pour continuer on peut faire comment?
Autre question, on parle d'homéomorphisme mais on se contente de montrer qu'il y a une bijection entre B+(n) et S+(n), comment peut-on faire pour la continuité, quelle métrique considère-t-on?

Pour ce qui est de la métrique, c'est simplement celle induite par l'espace de matrices ou ces gens vivent... ici

Alors la question que l'on se posait avec Marmelade est "connais-tu quelque chose aux topologies quotient? D'ailleurs il pose une bonne question, peux-tu nous rappeller comment on trouve l'homéomorphisme de avec (une indication devrait nous suffire...)

Mon idée de récurrence consisterait à dire "je suppose que je connais un homéomorphisme de sur , je rajoute une colonne, et voilà comment je prolonge... mais je ne l'ai pas écrit!

Pour montrer que GL(n) est homéomorphe à O(n)xB⁺(n) on a utilisé le procédé de Gram-Schmidt

Je vois... Bon, regarde si mon histoire de récurrence fonctionne!