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homothétie à partir d'une symétrie orthogonale...
Bonjour à tous.
j'ouvre ce topic parce que j'ai un petit problème avec un endomorphisme.
alors je vous présente l'exercice: E espace vectoriel de dimension 3
< . > est son Produit Scalaire canonique avec " " sa norme. ( o est la loi de composition)
on a : si u est un vecteur non nul fixé de E on note su la symétrie orthogonale définie par
x 
E su(x) = x - 2(<x.u> / ("x")2)u
soit h un endomorphisme de E tel que u E
(u
0) 
(h o su = su o h).
Montrer que h est une homothétie de E.
PS : après avoir montré que su était une symétrie orthogonale j'ai montré que su(u)= -u ...
MERIC D AVANCE
j'arrive à une relation entre h(u) et u mais avec un coefficient qui dépend de u .
j'avoue que je ne sais pas trop comment chercher....
Bonsoir mathsx;
Je crois que tu t'es trompé en écrivant l'expression de car on a plutôt pour
:
et on voit bien que
est la symétrie orthogonale par rapport au plan
puisque
Revenons maintenant à la question de l'exercice il s'agit en fait de montrer qu'un endomrphisme de qui commute avec toutes les symétries orthogonales planes de
est nécéssairement une homothétie.
Allons y:
Soit un tel endomorphisme on a donc
en particulier on a c'est à dire
ou encore
le vecteur étant changé en son opposé par
on conclut que
autrement dit pour tout
la famille
est liée et il est facile à partir de là de prouver que
est une homothétie de
( utiliser le moteur de recherche et voir topic est-elle une homothétie ? ).
Remarque:
Je crois qu'on peut généraliser ce résultat en la forme suivante:
Un endomorphisme d'un espace euclidien commutant avec toutes les symétries orthogonales hyperplanes de
est une homothétie.
Sauf erreurs bien entendu 
merci beaucoup à toi elhor_abdelali !!!!!!!! 
)
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