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Idéal et "Généralisation PGCD-PPCM"
Salut à tous 
,
Me revoilà de nouveau confronté à une difficulté et à nouveau sur un exo portant sur les idéaux principaux (décidément, c'est pas ma tasse de thé, faut croire 
).
Alors voici l'exercice en question :
A est un anneau intègre, a et b appartiennent à A. Prouver que si l'idéal aA+bA est principal, alors aA
bA l'est également.
Alors, mon idée a été d'essayer d'adopter un méthode se rapprochant de l'arithmétique classique.
aA+bA étant principal, il existe d dans A tel que : aA+bA = dA.
Ecrivons alors :
a=a'.d et b=b'.d
Introduisons m=d.a'.b'
Ce que j'aimerais montrer, c'est que : aAbA=mA.
Le fait que : mA 
aAbA ne fait nul doute.
C'est l'inclusion réciproque qui me pose problème. Voilà ce que j'ai entamé :
Soit , alors
et par intégrité, il vient :
...
et là je bloque parce que j'aimerais bien essayer d'appliquer une sorte de lemme de gauss, mais je ne vois pas comment faire. Peut-être n'ai-je pas non plus choisi la bonne méthode. Enfin bref, je bloque.
Merci d'avance et à bientôt
Bonjour Belge-FDLE
Lorsque tu simplifies par d, il me semble que tu supposes que A est commutatif, non ? (car d est "au milieu).
Kaiser
Tu parlais du théorème de Gauss : en fait, ici il sera vrai mais seulement avec ces éléments. On ne peux pas vraiment l'appliquer directement car nous ne sommes pas dans les conditions "générales". Il faut revenir à ce qui permet de montrer ce théorème : l'égalité de Bezout.
Essaie de voir si tu peux établir une telle égalité concernant a et b (égalité qui est immédiate vu ce que tu as écrit au début de ta preuve).
Kaiser
salut Camélia
Ta remarque m'a interpelé. J'ai donc vérifié dans 3 sources différentes : mon cours de sup, mon cours de spé et celui de cette année.
Hormis dans mon cours de sup (ou alors je n'ai pas bien cherché), la définition d'anneau intègre contient effectivement l'hypothèse de commutation.
Bref, je ne dis plus rien !
Kaiser
Salut à tous,
Merci beaucoup pour vos aides et désolé d'avoir mis autant de temps à répondre (une journée assez chargée hier ). Ah, ces problèmes de langages!! Un "must" dans le genre, c'est la définition d'anneau principal. On en donne la définition d'être un anneau intègre (donc en plus de vérifier ab=0 => a ou b = 0 il est commutatif) dont tous les idéaux sont principaux .
Pour ma part, dans un premier temps je ne me rappelais que de la troisième propriété d'où quelques difficultés concernant pas mal d'exos .
Mais revenons-en au problème (qui, grâce à votre aide, n'en est plus vraiment un ) :
Comme , on a l'existence de y et z tels que :
ie
d'où (par intégrité) (1)
Maintenant si on reprend l'égalité de mon premier POST, on avait, si x était dans aAbA, aboutit à l'égalité suivante :
Multiplions l'égalité (1) par xa :
Ainsi, on a bien m=a'b'd qui divise tout x da aAbA ce qui nous donne l'inclusion :
et finalement , en particulier aA
bA est principal.
Une fois de plus merci à vous deux pour vos aides .
À bientôt.
Cette fois je n'ai vraiment pas fait grand chose... Si ce n'est lire ton dernier post et te rassurer: c'est bon!
Belge-FDLE > pour ma part, je t'en prie ! 
Camélia >
Mais si, surtout ne t'arrête pas de dire!
En fait, c'était pour dire que j'étais d'accord avec toi et que je n'allais pas polémiquer sur le sujet, voilà tout !
Kaiser
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