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idéal maximal

Posté par
mousse42 08-05-21 à 16:09

Bonjour

On a A=\Z[i], et on me demande de montrer que I=(3+2i)A est maximal.

J'ai une autre solution que celle proposée par la correction :

Soit J un idéal tel que I\subset J\subseteq A et montrons que J =A
On utilise la norme N(a+ib)=a^2+b^2, on a N(zz')=N(z)N(z')

Soit x\in J\backslash I, on a xA\in J et puisque N(x)=x\bar x, on a N(x)\in J

Pour les mêmes raison 13=(3-2i)(3+2i)\in I\subset J

et puisque x\notin I on a  $pgcd$(13 , N(x))=1 , et on a (13,N(x))\in J^2, d'après la relation de Bézout on a13u+N(x)v=1 donc J=A

Qu'en pensez-vous...?

Posté par
mousse42re : idéal maximal 08-05-21 à 16:29

je viens de voir mon erreur...il me semble

Posté par
mousse42re : idéal maximal 08-05-21 à 16:32

on a x\in I \implies 13\mid N(x) mais la réciproque n'est pas vraie

Posté par
carpediemre : idéal maximal 08-05-21 à 16:37

salut

ne suffit-il pas de montrer que I est premier ... ou encore que 3 + 2i est premier ?

Posté par
mousse42re : idéal maximal 08-05-21 à 17:11

Salut,
Je dois utiliser la définition


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