salut

il serait bien de poser un énoncé exact et complet sans fioriture du style "il m'est demandé" parce que ce n'est vraiment pas clair ...
tout comme

Désolé pour l'incompréhension je reformule

Écrire pour tous les idéaux A de Z₂₀,  Z₂₀/A  
Donc je me dis qu'on attend de moi une expression plus simple de Z₂₀/A où A est un idéal de Z₂₀

1) Ce sont les pZ/20Z avec p|n
Donc ces idéaux sont : Z/20Z, 2Z/20Z, 4Z/20Z, 5Z/20Z, 10Z/20Z, 20Z/20Z  et {0}

2) c'est là qu'apparaît mon problème je sais pas comment exprimer ceux-ci

les deux derniers ne seraient-ils pas égaux ?

je te laisse traiter le premier et ces deux derniers ...

prenons I = 2(Z/20Z) et je note E = Z/20Z pour simplifier

quels sont ses éléments ? que vaut alors E/I ?

Les éléments de E sont :
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
Et ceux de I sont :
0,2,4,6,8,10,12,14,16,18
Les éléments de E/I sont de la forme a + I avec a € E donc je peux dire I, 1+I, 2+I,...19+I mais comment je fais intervenir les éléments de I alors ?
Pour les idéaux que j'ai listé plus haut vous avez raison les deux derniers sont égaux

ben qu'est ce que 2 + I ? 4 + I ? ...

2+I = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
4+I= { 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}
Bon je pense

et 18 + 2 = ?

et 18 +4 = ?

I est un idéal contenant 2 donc 2 + I = I !!

I est un idéal contenant a donc a+I=I donc si je comprends bien pour tout a € E tel que a € I alors a + I = I mais quand est-il alors des éléments de E qui ne sont pas dans I et comment exprimer cela ?

revois la définition des ensembles quotients et ce que signifie E/I

à quelle condition deux éléments a et b de E se "retrouvent égaux" dans E/I ?

PS : ce que tu dis est bon et je réponds à ta question ...

J'ai regardé la définition E/I est l'ensemble des classes d'équivalences d'éléments de E
Deux éléments a et b de E se retrouve égaux dans E/I si  leurs classes d'équivalences coïncident donc si  
a +I = b + I

Bonjour,

Je pense que tu es en train de t'embourber.

Soit un anneau commutatif,   un idéal de . Soit l'homomorphisme surjectif de passage au quotient.
Les idéaux de sont en bijection avec les idéaux de contenant par , et les quotients sont canoniquement isomorphes aux quotients .
En effet, l'homomorphisme composé est surjectif et son noyau est .

Ici et . Toute la question est de savoir quels sont les idéaux de qui contiennent , et je pense que tu connais la réponse.

J'avoue que ça m'embrouille un peu tout ça

Relis ton cours, relis calmement ce que j'ai écrit.

D'accord

J'ai bien relu mon cours et je bloque toujours un peu dans la résolution de cet exercice

Le pire c'est que je vais retrouver cette question demain en salle d'examen

Qu'est-ce qui bloque ?

Je ne parviens toujours pas à répondre proprement à la question

À savoir Exprimer Z₂₀/A où À est un idéal de Z₂₀

Tu as pourtant tout ce qu'il faut pour la réponse : ce sont les où est un idéal de contenant . Tu connais ces idéaux, sans aucun doute.

Donc si je comprends bien  Z₂₀/(nZ/20Z)  c'est exactement Z/nZ    ??

Donc pour E = Z₂₀ et I= 2Z/20Z on a  E/I = Z/2Z  ??

Ben oui. Et c'est indispensable que tu comprennes ça !

Je répète une nouvelle fois :
Considère le morphisme composé



Comprends-tu qu'il est surjectif ? Quel est son noyau ? Conclusion ?

ben oui et pour en revenir à mon idée plus naïve :

si E = Z/20Z = {0, 1, ..., 19} et I = 2E = {0, 2, 4, ..., 18}

et avec

ben que tous les pairs sont dans une même classe puisque c'est I
et que tous les impairs sont dans une même autre classe puisque

Je pense donc que le problème ici c'est d'identifier pour chaque I les différentes classes d'équivalences

Donc si I c'est plutôt 5E = {0,5,10,15} alors on gère les classes là comment ?

E = {0, 1, 2, ..., 19} et

Merci je pense que j'ai enfin compris

On vérifie pour I = 5E  
Classe(0)=classe(5)=classe(10)=classe(15)
Donc E/I = {0} ???

et que fais-tu des éléments 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, ...

Oups E/I = { 0, 1, 2, 3, 4}

alors maintenant essaie de faire le lien avec ce que te proposes GBZM de façon plus "professionnelle" ...

Ce n'est pas faute d'avoir essayé je ne comprends pas son indication

Tu ne comprends pas pourquoi le composé de deux morphismes surjectifs (deux morphismes de passage au quotient) et est un morphisme surjectif ?

Ah oui dis comme ça c'est vrai il est surjectif

Je t'avais demandé si tu comprenais pourquoi il était surjectif ...

Oui je pense que je comprends la surjectivité

Et est-ce que tu identifies bien le noyau de ce morphisme ?