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idéaux et endomorphismes

Posté par
romu 21-03-08 à 22:04

Bonsoir, je bloque sur cet exo:

Citation :
Soit A=M_{n,n}(\mathbb{R})=\textrm{End}(\mathbb{R}^n).

a) Montrer que les seuls idéaux bilatères de A sont \{0\} et A.


b) On veut montrer que tout idéal à gauche est principal avec Af=\{g\in \textrm{End}(\mathbb{R}^n),\ \textrm{ker} g \supset \textrm{ker} f\}.

(i) Soit u\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p) et v\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q); montrer que \textrm{ker} v\supset \textrm{ker} u  si et seulement si il existe w\in \mathcal{L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^q) tel que v=w\circ u.

(ii) Soient U,V,W\in A tel que \textrm{ker} W \supset \textrm{ker} U \cap \textrm{ker} V. Démontrer l'existence de R et S dans A tels que W=RU+SV (indication: considérer (\frac{U}{V})\in M_{2n,n}(\mathbb{R})).

(iii) En déduire qu'un idéal Ag_1+Ag_2 engendré pour deux éléments g_1 et g_2 donnés dans A d'écrit sous la forme Af.

(iv) Conclure (indication: noter qu'un idéal de A est engendré en tant que \mathbb{R}-espace vectoriel par un nombre fini d'éléments).


c) Adapter la méthode précédente afin de montrer que tout idéal à droite est principal avec fA=\{g\in \textrm{End}(\mathbb{R}^n,\ \textrm{im} g \subset \textrm{im} f\}
.

Déjà pour la a), je ne vois pas comment attaquer.

Merci pour vos indications.

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 21-03-08 à 22:11

Enfin, je pense avoir une idée via des "matrices de passage", mais ces notions d'algèbre linéaire sont bien floues lointaines .

Je considère un idéal I quelconque de A, qu'on suppose non réduit au neutre \textrm{Id}.

Alors il existe M\in I, tel que M \neq \textrm{Id}.

Si on trouve P,Q\in A tels que PMQ=\textrm{Id} c'est gagné.

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 21-03-08 à 22:17

bon si M est inversible c'est clair aussi que I=A, donc il reste à voir le cas où M n'est pas inversible.

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 00:29

Bon je viens de faire quelques rappels au niveau des changements de base, en notant r le rang de M,

je trouve qu'il existe des matrices P,Q,N\in A  telles que

3$PMQ=N,

P,Q inversibles dans A,

et

3$N=\( \array{ccccccccc$ 1 & 0 & ... & 0 & \ & 0 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0 & \ & 0 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 1 & \ & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 & \ & 0 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 0 & \ & 0 & 0 & ... & 0}\) = \(\array{cc$ Id_r & 0\\ 0 & 0\)

Donc si M est dans l'idéal I, alors N est dans I, N ressemble presque à l'identité, je pense que c'est une piste.

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 00:56

c'est bon en fait pour la suite à coup de matrices élémentaires, j'y arrive.

Je passe à la b).

Posté par
Tigweg Correcteurre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 00:57

Salut romu,

attention, la loi de groupe sous-jacent n'est pas la multiplication mais l'addition!

PAr conséquent le neutre est 0, pas Id!

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 01:01

salut,

oui pardon, une petite coquille.

Pour la suite par contre c'est bien l'identité(=l'unité) qu'il faut que je considère  Pour montrer que l'idéal est A tout entier.

Posté par
Tigweg Correcteurre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 01:16

Oui tout-à-fait!

Tu as regardé les symétries affines?

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 01:32

non pas encore

Je vais regarder la géométrie demain.

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 02:41

pour le (i),

Sens indirect:

si x\in \textrm{ker} u, alors

v(x)=(w\circ u)(x) = w(u(x))=w(0_{\mathbb{R}^p})=0_{\mathbb{R}^q},

donc x\in \textrm{ker} v.


Sens direct:

Soit F un supplémentaire de \textrm{Im} u dans \mathbb{R}^p.

Je pense que le bon candidat est w:\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q défini par:

w(y)=0 si y\in F et v(x) si y\in \textrm{Im} u, avec y=u(x).

Soit y\in \textrm{Im} u. Alors il existe x\in \mathbb{R}^n tel que y=u(x).
Soit x'\in \mathbb{R}^n tel que y=u(x'). Alors

O_{\mathbb{R}^p}=y-y=u(x)-u(x')=u(x-x').

Donc x-x'\in \textrm{ker} u, et par hypothèse x-x'\in \textrm{ker} v.

Donc v(x)=v(x').

Par conséquent w est bien définie, et on a bien v=w \circ u.
Bon après je ne vois pas comment montrer que w est linéaire, en particulier dans le cas où j'ai y\in \textrm{Im} u, z\in F et \lambda_1,\lambda_2\in \mathbb{R} comment montrer l'égalité:

\lambda_1 w(y)+\lambda_2w(z) = w(\lambda_1 y+\lambda_2 z) \\

Posté par
Camélia Correcteurre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 14:21

Bonjour

En montrant que w est bien définie, tu as dit que tu peux choisir n'importe quel x dans Im(u). Alors pour y=u(x) et z=u(x'), choisis 1x+2x' comme représentant de 1y+2z.

Posté par
perroquetre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 14:28

Bonjour, romu.

J'utilise les notations de ton post précédent.
Avec ta rédaction, il n'y a aucun moyen de démontrer que w est linéaire, w n'ayant été défini que sur deux sous-espaces supplémentaires (sans aucune précision sur la nature de w).
Mais cela peut s'arranger facilement. Il te suffit de préciser que si y est un élément de   Im u   et si z est un élément de F, alors:
w(y+z)=w(y)+w(z)=w(y)
Et là, aucune difficulté pour montrer que w est linéaire.


De manière plus générale, il y a un théorème bien utile:
Si (E_i)_{i\in I} est une famille de sous-espaces supplémentaires d'un K-espace vectoriel E, et si, pour tout i, u_i est une application linéaire de E_i dans un K-espace vectoriel F, alors, il existe une unique application linéaire de E dans F telle que, pour tout i, la restriction de u à E_i est égale à u_i

Posté par
perroquetre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 14:30

J'ai été devancé. Bonjour, Camélia

Posté par
Camélia Correcteurre : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 14:36

Bonjour perroquet

Posté par
romure : idéaux et endomorphismes 22-03-08 à 15:11

Bonjour à vous deux, et merci pour ces explications, c'est clair maintenant, je regarderai la suite de cet exo un peu plus tard.


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