Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau licence
Partager :

Identification des coefficients

Posté par
SkyMtn
03-01-18 à 16:39

Bonjour, j'aimerais savoir sous quelles conditions on peut identifier un polynôme (à coefficients dans un anneau unitaire, commutatif & intègre... au pire dans un corps commutatif) et un morphisme d'évaluation associé ? Exemple : quand on étudie les racines d'une fonction polynomiale réelle ou complexe, on peut passer par une étude de polynômes, mais quand on fait ça on identifie implicitement les coefficients devant chaque monôme :/ Chose qui n'est pas possible en arithmétique modulaire, si on a P= X+X^2 et qu'on passe dans \Z/2\Z la fonction polynomiale associée est toujours nulle, mais le polynôme lui ne l'est pas :'(

En fait ça revient à caractériser "l'unicité des coefficients" de la fonction polynomiale associée dans l'espace d'arrivée. Dans une \K-algèbre normée, je pense que ça doit marcher (en tronquant le "polynôme"), mais c'est assez restrictif :/

Merci de m'éclairer

Posté par
jsvdb
re : Identification des coefficients 03-01-18 à 16:58

Bonjour SkyMtn.
Il faut voir la caractéristique du corps dans lequel est valué ton polynôme.
Si la caractéristique est nulle, tout va bene, sinon on se retrouve dans le cas que tu évoques avec du \Z/2\Z.
En revanche, à voir ce qu'il se passe pour des caractéristiques première supérieures à 3.

Posté par
SkyMtn
re : Identification des coefficients 03-01-18 à 17:15

Si on suppose que pour tous p,n entiers naturels les fonctions x\mapsto x^n et x\mapsto x^{n+p} ne coïncident pas c'est suffisant pour montrer l'injectivité du morphisme ?

Posté par
SkyMtn
re : Identification des coefficients 03-01-18 à 17:17

* fonctions de l'espace de valuation dans lui-même

Posté par
SkyMtn
re : Identification des coefficients 03-01-18 à 22:06

En fait il suffit que l'espace de valuation soit un anneau commutatif, unitaire, intègre et infini pour éviter les "répétitions de racines" (si j'ai bien compris, on utilise le plongement de cet anneau dans son corps des fractions pour la valuation, celui ci reste infini, et on prouve par l'absurde que si le morphisme de valuation sur un corps infini est identiquement nul, c'est que le polynôme dont il est issu est nul, et donc le noyau du morphisme est réduit au vecteur nul, c'est injectif !).

Cela explique pourquoi sur \Z/2\Z par exemple, on ne peut pas identifier le polynôme et la fonction polynomiale associée.

Posté par
carpediem
re : Identification des coefficients 04-01-18 à 10:40

salut

je ne comprends pas trop quel est ton pb ...

pour tout polynome P à coefficients dans un anneau on peut toujours identifier P et le polynome obtenu "modulo un sous anneau"

ainsi de P défini dans Z on peut passer à P défini dans Z/nZ

mais évidemment on réfléchit à ce qu 'on fait

il est évident que le polynome P(x) = 2x est nul dans Z/2Z  ... ce qui n'apporte donc pas grand chose ...

Répondre à ce sujet

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Vous devez être connecté pour poster :

Connexion / Inscription Poster un nouveau sujet
Une question ?
Besoin d'aide ?
(Gratuit)
Un modérateur est susceptible de supprimer toute contribution qui ne serait pas en relation avec le thème de discussion abordé, la ligne éditoriale du site, ou qui serait contraire à la loi.


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1291 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !