Bonjour SkyMtn.
Il faut voir la caractéristique du corps dans lequel est valué ton polynôme.
Si la caractéristique est nulle, tout va bene, sinon on se retrouve dans le cas que tu évoques avec du .
En revanche, à voir ce qu'il se passe pour des caractéristiques première supérieures à 3.

Si on suppose que pour tous p,n entiers naturels les fonctions et ne coïncident pas c'est suffisant pour montrer l'injectivité du morphisme ?

* fonctions de l'espace de valuation dans lui-même

En fait il suffit que l'espace de valuation soit un anneau commutatif, unitaire, intègre et infini pour éviter les "répétitions de racines" (si j'ai bien compris, on utilise le plongement de cet anneau dans son corps des fractions pour la valuation, celui ci reste infini, et on prouve par l'absurde que si le morphisme de valuation sur un corps infini est identiquement nul, c'est que le polynôme dont il est issu est nul, et donc le noyau du morphisme est réduit au vecteur nul, c'est injectif !).

Cela explique pourquoi sur par exemple, on ne peut pas identifier le polynôme et la fonction polynomiale associée.

salut

je ne comprends pas trop quel est ton pb ...

pour tout polynome P à coefficients dans un anneau on peut toujours identifier P et le polynome obtenu "modulo un sous anneau"

ainsi de P défini dans Z on peut passer à P défini dans Z/nZ

mais évidemment on réfléchit à ce qu 'on fait

il est évident que le polynome P(x) = 2x est nul dans Z/2Z  ... ce qui n'apporte donc pas grand chose ...