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Im(f)
bonjour,
on nous donne l'endomorphisme f de E tel que
f(i)=i+2j+3k ,f(j)=2i+3j+3k et f(k)=3i+j+3k
on nous demande d'exprimer une base de Im(f)
-> donc je suppose qu'il faut vérifier si les vecteurs sont libres.
Pour cela , on peut poser af(i)+bf(j)+cf(k)=0 et voir si ca implique que a b et c sont nuls , mais , et voila ma question , est ce qu'on peut utiliser le determinant du systeme , et voir si le détermiant est nul auquel cas , il me semble , les vecteurs sont libres ?
mon systeme serait:
1 2 3
2 3 3
3 1 3
PS : ne cherchez pas à trouver une relation évidente entre f(i), f(j) et f(k) , je les ai pris comme exemple , l'oobjet de ma question n'est pas cet exo mais ce type d'exo
merci d'avance
Bonjour;
Rappel de cours:
(*)Si est un
espace vectoriel de dimension finie
(
désignant un corps commutatif quelconque ) et
( un endomorphisme de
) alors
est le sous espace vectoriel de
engendré par les vecteurs
et
où
est une base quelconque de
.
(*)Ici tu as et
une base de
donc:
c'est à dire
et il est facile de voir que
et ainsi:
-Si est de caractéristique distincte de
(c'est le cas par exemple pour
ou
) le systéme
est donc libre et vu qu'il a pour cardinal la dimension de
il en est une base c'est à dire que
(
est alors un automorphisme de
).
-Sinon (comme c'est le cas par exemple pour ) on aurait en fait
et il est alors clair que
est une base de
.
Sauf erreurs 
et si le determinant avait été 0 , les vecteurs étaient liés . Il aurait fallu en prendre 2 et voir si ces 2 étaient libres ou liés , c'est ca ?
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