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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Image d'un plan

Posté par
Tiantio
02-01-22 à 10:57

Bonjour à tous !

Exo : Dans IR^3 orienté muni de sa base canonique, déterminer l'image du plan d'équation  x+y = 0  par la rotation d'angle  \Pi /4 autour de l'axe engendré par (1,1,1).

Merci pour vos suggestions


Posté par
ty59847
re : Image d'un plan 02-01-22 à 11:46

Tu as bien quelques idées !
Déjà, quelle est la nature du résultat.
On a un plan, on fait une rotation. On obtient quoi ?
Une droite, un plan, une parabole ???

Ensuite, quand tu connais la nature de l'ensemble cherché, comment envisages-tu de le définir ?
Par exemple, pour définir une droite, on peut la définir à partir de 2 points.

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 02-01-22 à 12:01

Puisque que la rotation conserve les alignements, l'image d'un plan est donc un un plan et pour définir un plan, nous avons besoin d'un vecteur normal et d'un point.

Posté par
ty59847
re : Image d'un plan 02-01-22 à 13:04

L'image d'un plan est un plan. Ok.
Pour définir un plan, on a besoin d'un vecteur normal et d'un point.
Oui et non.
Pour définir un plan, une des méthodes, c'est d'avoir un vecteur normal et un point, mais ce n'est pas la seule.
Par exemple, dans l'énoncé de l'exercice, on nous parle du plan d'équation x+y=0 ... ce plan est parfaitement défini, et on n'a pas un point et un vecteur normal.

Et il y a encore d'autres façons de définir un plan.

Est-ce que l'énoncé est complet ? Est-ce que la rotation est clairement définie pour toi ?

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 02-01-22 à 13:16

Je suis d'accord avec vous !

L'énoncé est complet et désolé je comprends pas bien cette rotation

Posté par
ty59847
re : Image d'un plan 02-01-22 à 13:46

On est dans quel 'cadre' ?
Quand j'étais lycéen, on parlait d'espaces vectoriels et d'espaces affines.
Ici, tu es dans un cours qui tourne autour de quoi ? Espaces vectoriels ou affines ?

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 02-01-22 à 13:48

on est dans un espace vectoriel

Posté par
ty59847
re : Image d'un plan 02-01-22 à 15:59

Ok, donc tout va bien, l'énoncé est complet, il ne manque rien.

Et d'après toi, pourquoi je dis que l'énoncé est complet ... maintenant qu'on a ajouté cette information 'Espaces Vectoriels' ?

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 02-01-22 à 16:16

Je ne comprends pas vraiment

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Image d'un plan 03-01-22 à 17:08

Bonjour

Tiantio connais-tu la formule axe-angle qui donne la matrice d'une rotation (de l'espace euclidien de dimension 3)

en fonction des coordonnées d'un vecteur directeur unitaire de l'axe et du cosinus et sinus de l'angle ?

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 03-01-22 à 17:29

Bonjour,
Si je puis me permettre.

@Tiantio Si tu as vu en cours les changements de bases et si tu connais la forme d'une matrice de rotation autour d'un axe , cas simple de la formule axe-angle évoquée par elhor_abdelali (que je salue), tu peux t'en sortir en mettant cela en oeuvre.

Un peu calculatoire cependant...

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 03-01-22 à 18:08

c'est la matrice suivante :

\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&cos \theta &-sin \theta \\ 0 & sin \theta & cos \theta \end{pmatrix}

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 03-01-22 à 18:18

Oui, si l'axe est dirigé par le 1er vecteur de base. Je te propose ici de prendre la forme

\begin{pmatrix} \cos t & -\sin t &0 \\ \sin t&\cos t &0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}

(on tourne autour de l'axe dirigé par (1,1,1), pris comme support du troisième vecteur de la nouvelle base)

...et puis c'est comme ça que j'ai fait mes calculs

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 03-01-22 à 18:35

désolé mais à vrai dire , je sais le calcul que je doive faire, j'ai pas bien compris l'exo

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 03-01-22 à 18:35

*pas

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 03-01-22 à 18:52

On te donne un plan (P) défini par son équation cartésienne.

Dans la rotation d'axe dirigé par (1,1,1) et d'angle \pi/4, ce plan se transforme en  (P'). On te demande l'équation cartésienne de (P').

Mon but était de t'orienter vers des techniques de changements de bases que tu as sans doute vues en cours, de façon à te placer dans une base où la rotation est facile à écrire, puis de revenir dans la base canonique. Ton idée d'utiliser le transformé d'un vecteur normal à (P) est bonne.

Cela dit, je laisse bien entendu la main à elhor_abdelali pour poursuivre.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Image d'un plan 03-01-22 à 21:04

Salut larrech

Tiantio les matrices de rotation que tu as indiqué (comme te l'a fait remarquer larrech) sont des cas particuliers

(cas où l'axe de rotation est l'un des trois axes des coordonnées) mais justement ce n'est pas le cas ici.

Je te propose alors la formule suivante en notant r la rotation autour du vecteur u=(u_x,u_y,u_z) et d'angle \theta et A sa matrice dans la base canonique de \mathbb R^3 :

\Large \boxed{\textcolor{blue}{A=P+\cos\theta.(I-P)+\sin\theta.Q}}

\Large \boxed{P=\frac{u^tu}{||u||^2}=\frac{1}{||u||^2}\left[\begin{array}{ccc}u_x^2&u_xu_y&u_xu_z\\u_xu_y&u_y^2&u_yu_z\\u_xu_z&u_yu_z&u_z^2\end{array}\right]} , \Large \boxed{I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]} et \Large \boxed{Q=\left[\begin{array}{ccc}0&-u_z&u_y\\u_z&0&-u_x\\-u_y&u_x&0\end{array}\right]}

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 03-01-22 à 22:03

je trouve A = \begin{pmatrix} \frac{1+ \sqrt{2}}{3}& \frac{1}{3} -\sqrt{2} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3}& \frac{1+ \sqrt{2}}{3}&\frac{1}{3} -\sqrt{2} \\ \frac{1}{3} -\sqrt{2}&\frac{1}{3} & \frac{1+ \sqrt{2}}{3} \end{pmatrix}

après j'ai calculé AM où M(x,y,z) et puis je suis bloqué

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Image d'un plan 04-01-22 à 00:58

Une rotation est un endomorphisme orthogonal elle conserve donc l'orthogonalité

comme v=(1,1,0) est un vecteur orthogonal au plan d'équation P':x+y=0

le vecteur r(v) est orthogonal au plan r(P') non ?

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 04-01-22 à 09:44

Bonjour,

Dans la formule donnée hier à 21h04, le vecteur u n'est pas unitaire.

Je pense qu'alors la matrice Q doit être prise égale à

Q=\dfrac{1}{||u||}\begin{pmatrix} 0 & -u_z & u_y\\ u_z& 0 &-u_x \\ -u_y &u_x & 0 \end{pmatrix}

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Image d'un plan 04-01-22 à 14:34

Oui tout à fait larrech c'était une oubliette de ma part

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 04-01-22 à 19:25

J'ai compris, merci à vous

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 04-01-22 à 19:28

Tu n'as pas répondu à ma question. Changement de base dans un espace vectoriel, matrice de passage, ça te dis quelque chose?

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 04-01-22 à 19:48

Oui, ça me dit quelque chose

B = P-1 A P où P est la matrice de passage de A à B

Posté par
larrech
re : Image d'un plan 04-01-22 à 20:04

c'est la formule qui donne la relation entre la matrice d'un endomorphisme exprimée dans une base et dans une autre, P étant la matrice de passage de l'une à l'autre base.

Peu importe. Sache qu'au cas où tu ne connaîtrais pas par coeur (ou ne saurais pas retrouver) la formule donnée  par elhor_abdelali, il y avait une manière de s'en tirer en procédant à un changement de base, et en utilisant la matrice de rotation donnée à 18h18.

Mais, bon, on va en rester là.

Posté par
Tiantio
re : Image d'un plan 04-01-22 à 20:39

D'accord, merci beaucoup pour toutes vos réponses, c'est super gentil

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Image d'un plan 04-01-22 à 21:39

C'est un plaisir Tiantio



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