Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Image et noyau
Bonjour ,
voici un autre exercice qui me pose un peu problème :
On considère 
qui à tout polynôme P de IRn[X] associe (P)(X)=3XP'(X) +(X²-1)P''(X)
Montrer que est un endomorphisme de IRn[X] dont on déterminera l'image et le noyau .
1) est une application qui va de IRn[X] dans IRn[X]
soient (P,Q) appartenant à IRn[X] et 
,
(P+q)(X) = 3X(a*P+Q)'(X)+(X²-1)(a*P+Q)''(x) = ...=a*(3X*P'(X) +(X²-1)P''(X) ) + 3XQ'(X)+(X²-1)Q''(X)
= a*(P)(X) +(Q)(X)
donc linéaire , c'est bien un endomorphisme .
2)Pour le noyau et l'image .
Il faut que je calcule les images des bases 1,X,X²,X3,...,Xn , n'est-ce pas ?
après cela , j'applique la définition .
le problème , c'est que le deg de P est n , non ?
alors : phi(P)(1) =3P'(1) = 0
phi(P)(X) = 3X
phi(P)(X²) = 3X(2X)+(X²-1)*2
phi(P)(X²) = 8X²-2
....
phi(P)(Xn)= 3X*n*Xn-1+(X²-1)n(n-1)Xn-2
est-ce que jusque là ça va ?
Merci
salut
pour le noyau il suffit de chercher Ker(Phi) soit trouver P de de Rn[X] tel que Phi(P)=0
soit à resoudre l'équa diff : 3xP'+(x²-1)P"=0
sauf erreur Im(Phi)=Rn[X]
L'image ne peut pas être l'espace entier, à partir du moment où le noyau n'est pas réduit au polynôme nul 
j'ai un trou de mémoire , je ne sais plus comment résoudre cette équa diff .
mon équation caractéristique est un peu hybride :
(x²-1)r²+3xr+c= 0
...petit raffraichissement de mémoir ?
Commence donc par finir de justifier que tu as un endomorphisme ....
et n'oublie pas que P est un polynôme .... les coeffs indéterminés ça peut être pas mal
Bonjour Elytinker,
il me semble que tu as déjà trouvé le résultat demandé mais que tu ne t'en rends pas compte. En effet une fois que tu as démontré le fait que phi est un endomorphisme, tu peux lui appliquer le théorème du rang. Ensuite il suffit de mieux examiner les images de la base canonique (notamment les degrés).
Tout cela peut néanmoins être déduit du calcul qu'il a effectué de l'image de la base canonique, combinés avec des considérations sur les degrés des polynômes
Bonsoir Elytinker.
alors : phi(P)(1) =3P'(1) = 0
phi(P)(X) = 3X
phi(P)(X²) = 3X(2X)+(X²-1)*2
phi(P)(X²) = 8X²-2
....
phi(P)(Xn)= 3X*n*Xn-1+(X²-1)n(n-1)Xn-2
est-ce que jusque là ça va ?
Je trouve tes notations fausses.
Par exemple
(P)(1)=3
1 P'(1)+(1²-1)P''(1)=3P'(1) qui n'est pas forcement nul.
par contre
(1)(X)=3X1'(X)-(X²-1)1''(X)=0 en notant 1 le polynôme défini par 1(X)=1.
En notant Ak le polynôme défini par Ak(X)=Xk on a bien
(Ak) est le polynôme défini par
(Ak)(X)=3XkXk-1+(X²-1)k(k-1)Xk-2 si k est supérieur à 2.
Au passage je te conseille vivement de faire le calcul. Ce qui te permettra de répondre à l'objection de lafol
Pour préciser ma pensée :
(A1)(X)=3X comme tu l'as calculé.
On pourrait écrire ça (A1)=3A1. On peut en déduire (A1)(1)=3
On peut aussi écrire, de façon moins lisible, (X)(X)=3X. On peut en déduire (X)(1)=3
ok , en calculant pour
k=1 , cela donne ce que vous avez écrit .
k=2 , A2=6X²+2(X²-1), on a ce qui faut 
voilà , tout cela pour dire que je suis perdu :
A quoi peut servir le théorème du rang , on ne veut pas la dimension ?
Le théorème du rang te donne la dimension de l'image quand tu as celle du noyau.
Pour démontrer que est un endomorphisme de n(X) il ne faut pas oublier de montrer que l'image d'un polynôme de degré n est un polynôme et que son degré est au plus n.
Pour trouver le noyau : tes calculs montrent que l'image d'un polynôme de degré k
0 est de degré k.
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac