Inscription / Connexion Nouveau Sujet
image et noyau d'un endomorphisme
bonjour,
j'ai un problème avec cet exo:
E désigne l'ensemble des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2. On rappelle qu'il s'agit d'un espace vectoriel sur R. On note B=(E0,E1,E2) sa base canonique. On rappelle que E0:x donne 1, E1:x donne x et E:x donne x².
enfin on désigne par f l'application qui à tout polynôme P de E associe Q=(P) défini pour tout x appartenant à R, Q(x)=P(2x)-(2x+1)P'(x)
il est demandé de déterminer l'image et le noyau de f.
J'ai appliqué la méthode usuelle pour la recherche du noyau et je trouve pour solution les polynômes de la forme P=aX+a
faut-il que je prenne une valeur précise de a ou tous les polynômes de cette forme sont le noyau?
Pour l'imgae, je n'arrive pas à trouver car je trouve pour solution les polynômes de la forme P(x)=b-a avec a et b réels. mais je n'arriv pas à déterminer a et b!
merci d'avance
salut
pour le noyau , il s'agit de chercher Ker(Q) autrement dit chercher P tel que Q(P)=0
soit à résoudre l'équation differentielle P(2x)-(2x+1)P'(x)=0
Bonjour
L'endomorphisme envoie le polynôme
défini par
sur le polynôme
défini par
.
L'image est le polynôme nul ssi
et
, ce qui correrespond aux polynômes
définis par
.
Le noyau de l'application considérée est donc , il s'agit d'un sous-espace vectoriel de dimension 1 de l'espace vectoriel ambiant.
Quand à l'image de , on trouve l'ensemble des polynômes
définis pas
, ou encore
(puisque les nombres a,b,c sont quelconques) .
Il s'agit d'un sous-espace vectoriel de dimension 2 de l'espace vectoriel ambiant.
On peut vérifier que dim(Ker(f))+dim(Im(f)) = 1 + 2 = 3 = dim(espace vectoriel ambiant) !
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac