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Niveau quatrième
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Imaginer une stratégie

Posté par
Legendperso
20-01-17 à 13:27

Bonjour, je ne comprends pas un exercice en maths sur la géométrie dans l'espace:
On dispose de 60 cubes , tous de mêmes dimensions. Combien de parallelepipedes rectangles différents peut on construire avec ces 60 cubes?
Pour chaque parallélépipède construit, tous les cubes sont utilisés.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Imaginer une stratégie 20-01-17 à 13:57

Un parallélépipède rectangle est défini par 3 mesures (longeur, largeur,épaisseur)

Le volume du parallélépipède est V = longueur X largeur X épaisseur

et on sait que V = 60

--> longueur X largeur X épaisseur = 60

Et comme la longueur, la largeur et l'épaisseur sont des nombres entiers (de cubes)

Il faut trouver toutes les combinaisons possibles pour avoir :  longueur X largeur X épaisseur = 60
avec   longueur, largeur et épaisseur des nombres entiers positifs.

Par exemple :
Longueur = 5
Largeur = 3
Epaisseur = 4
(on a alors bien 5 X 3 X 4 = 60

Il faut trouver toutes les autres possibilités ... en faisant attention de ne pas en compter le même plusieurs fois.

Par exemple, il ne faut pas compter aussi le parallélépipède avec  :
Longueur = 4
Largeur = 3
Epaisseur = 5
En effet, celui-ci est le même que le précédent ... mais qu'on a juste "posé" autrement.

Si tu as compris ce que j'ai écrit, il te reste à te mettre au travail pour trouver tous les parallélépipèdes possibles.

Sauf distraction.  

Posté par
mijo
re : Imaginer une stratégie 20-01-17 à 20:13

Bonjour à vous deux
J-P
60 est le nombre de cubes, on ne parle pas de volume dans l'énoncé
Pour chaque parallélépipède construit, tous les cubes sont utilisés.
si pour chaque parallélépipède constitué il faut utiliser les 60 cubes
on peut faire 2 rangées accolées de 30 cubes ou 2 couches de 30 cubes entre autres, voir toutes les combinaisons possibles.
Je dois arrêter on m'appelle pour le dîner.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Imaginer une stratégie 20-01-17 à 20:30

Bonjour,

c'est absolument équivalent.
le volume évoqué par J-P est avec comme unité de volume le cube ...

cela revient à trouver les diviseurs de 60, et à les combiner correctement.

(sans oublier les 60 cubes alignés en un seule file (1x1x60) etc ...

mais 2x30x1 identique à 1x30x2
et donc

2 rangées accolées de 30 cubes ou 2 couches de 30 cubes
sont le même parallélépipède juste vu sous un angle différent.

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 11:18

Bonjour, Mais je ne comprends pas, il peut avoir pleins de possibilités.

Posté par
malou Webmaster
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 11:21

mais s'il n'y avait eu qu'une seule possibilité, on te l'aurait pas posé comme exo ! c'est ça qui est amusant.....

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 11:31

Citation :
Bonjour, Mais je ne comprends pas, il peut avoir pleins de possibilités.


Il y en a en effet "un certain nombre" ... et c'est ce nombre là qu'on te demande de trouver.

Et il n'y en a pas tant que cela...
Un peu de réflexion ...

Je commence la liste (les 3 dimensions)

1 , 1 , 60
1 , 2 , 30
1 , 3 , 20

A toi de poursuivre la liste.

Attention d'éviter les "doubles", par exemple (1 , 2 ,30) et (1 , 30 , 2) et (2 , 1 , 30) et (2 , 30 , 1) et (30 , 1 , 2) et (30 , 2 , 1) sont tous identiques ... il ne faut donc n'en comptabiliser qu'un pour tous ceux-là.

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 12:18

1x4x15
1x5x12
1x6x10
1x8x7,5

Posté par
sephdar
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 12:21

bonjour,

il faut des nombres entiers car tu ne peux pas mettre des demi cubes...

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 12:24

Ah oui donc je l'enlève

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 12:42

Donc en tout il n'y a que 6 possibilités?..

Posté par
sephdar
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:02

non, il y en a d'autres ...
pour l'instant tu n'as que celles qui ont "1" pour  une des dimensions

il reste toutes celles où il n'y a pas "1" comme dimension

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:21

Il y en a 9, il y a aussi:
2x3x10
2x5x6
3x4x5

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:26

Il t'en manque un.

2x2x15

Posté par
mathafou Moderateur
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:31

il t'en manque une ...

dans la question de l'énoncé il y a "stratégie"

c'est à dire imaginer une méthode qui garantisse que mécaniquement on les a tous sans doublons et sans possibilité d'en oublier...

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:31

Ah oui je l'avais oublié! Merci à tous de m'avoir aidé !!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:32

la manquante a été donnée par J-P entre temps.

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 13:38

Mathafou J ai trouvé les combinaisons avec la calculette mais je vois pas de méthode stratégique..

Posté par
mathafou Moderateur
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 14:01

il n'y a pas besoin de calculette pour obtenir les diviseurs de 60 !!

60 =
1x60
2x30
3x20
4x15
5x12
6x10
7 ne marche pas
8 ne marche pas et tous les nombres suivants donneraient 60 = axb avec b < a (car 8² > 60) donc un diviseur déja trouvé
la liste des diviseurs de 60 est donc complète.

1er cas 1x60 mais 60 = de nouveau ma liste ci dessus
donc première série
1x1x60
1x2x30
1x3x10
1x4x15
1x5x12
1x6x10

on prend ensuite le diviseur suivant 2 :
2x30 et avec la même technique on détermine les diviseurs de 30, mais en se limitant à ceux ≥ 2 car on veut 60 = axbxc avec a≤b≤c
(et les diviseurs de 30 sont des diviseurs de 60 !)

2x2x15
2x3x10
(30 pas divisible par 4)
2x5x6

et c'est fini car ensuite 30 = axb donnerait b < a

on prend ensuite le diviseur suivant :
3x20
et on cherche les diviseurs de 20 ≥ 3

3x4x5 et c'est tout

on prend ensuite le diviseur suivant
4x15
et on cherche les diviseurs de 15 ≥ 4
le seul est 5 qui donne le troisième facteur < 5 donc c'est fini.

on peut programmer tout ça dans un algorithme "bête" qui donnera la liste sans se poser de question quelle que soit le nombre de cubes au départ.

Posté par
Legendperso
re : Imaginer une stratégie 21-01-17 à 14:06

Ahh je viens de comprendre ça parrait tellement facile maintenant! Merci beaucoup



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