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implication a montrer
Bonjour, je vous soumet un petit probleme :
Soit E un ev euclidien de dimension n.
B= une base orthonormale de E.
Le produit scalaire sur E est noté (x|y).
L(E) est l'ev des endomorphismes de E.
S(E) est le sev de L(E) des endomorphismes symetriques.
S+(E)={f L(E)/ qqsoit x
E, (x|f(x))
0}.
Pour f dans S+(E) et x dans E, mq : (x|f(x))=0 
f(x)=0
Voila je n'y arrive pas et il n'y a pas de question intermediaire, voyez vous comment faire ???
Merci a tous
Si f est symétrique, alors f est diagonalisable.
Notamment ton x peut se décomposer suivant une base dans laquelle f est diagonale. Supposons que c'est déjà le cas.
Ainsi x=x1e1+...+xnen avec les ei qui sont des vecteurs propres.
Ainsi
(ei|f(ei))=(ei|aiei) ou ai est valeur propre associée à ei
ce produit scalaire est ai||ei||^2
Si ce produit scalaire est nul, c'est que ai est nulle.
Je pense que c'est une bonne idée de la démonstration, mais peut être possède t'elle un coquille?
A+
Pardon ce n'est pas ai qui est nul.
Ce produit scalaire vaut vraiment ai||ei||^2
C'est (xiei|f(xi)) qui est nul qui implique que xi est nul.
A+
mais f n'est pas necessairement symetrique car la definition de S+(E) est la bonne et que un element de S+ n'est pas forcement dans S...
Alors à quoi sert S(E) dans ton énoncé ? Il y a sans doute une erreur.
Il doit y avoir un problème à la base, parce que c'est sur que ca n'est pas vrai dans le cas général (sauf si tu travailles sur un espace complexe, auquel cas, tu peux te servir de l'identité de polarisation)
(contre) Exemple:
f=décallage:
f(x,y)=(0,x)
on a (x,y)|f(x,y)=xy=0 implique x=0 ou y=0 mais pas x et y=0
Notamment en prenant y=0 et x=1 on obtient
(1,0)|(0,1)=0 et pourtant x n'est clairement pas nul.
A+
Ok je viens de voir qu'il y'avait une condition importante que je n'avais pas vue.
Oublie ce que je viens de te dire.
Excuse moi.
Je vais réfléchir plus sérieusement au problème.
A+
l'interet de S(E) n'est pas nul car ce n'est qu'une des nombreuses questions...
bonsoir
tu dois etre en spé donc tout endomorphisme symetrique est diagonalisable ds une base orthonormée de vecteurs propres
notons (e_1,.....,e_n) base de E vecteurs propre de f
et (a_1,.....,a_n) valeur propre associé à e_1,...,e_n
donc f(e_1)=a_1e_1 .......et f(e_n)=a_ne_n
donc supposons
<x,f(x)>=0
alors <e_1,f(e_1)>=....<e_n,f(e_n>=0
donc a_1lle_1ll^2=......=a_nlle_nll^2=0
or les e_i sont des vecteurs propres donc non nuls donc leur norme egalement ou encore la base est orthonormée
donc lle_ill=1
ainsi
a_1=......=a_n=0 donc f(e_i)=0
or x= b_1e_1+......+b_ne_n
ainsi
f(x)=b_1f(e_1)+.....+b_nf(e_n)=0 car f(e_i)=0
donc f(x)=0
B est une base orthonormée de E
donc l'expression du produit scalaire est simplifiée
<x,f(x)> - <f(x),f(x)>=<x-f(x),f(x)>
Oui c'est l'idée que j'avais eu (et que j'ai mal exprimée d'ailleurs) mais ici f n'est pas nécessairement symétrique visiblement...
C'est louche parce que la notation S+(E) m'est familère et pour moi, c'est l'espace vectoriel des endomorphismes symétriques positifs de E.
Ainsi, il est inclus dans S(E).
C'est d'autant plus louche que si f(x,y)=(-y,x) on a
(x,y)|f(x,y)=(x,y)|(-y,x)=-xy+xy=0 pour tout x et y.
Et donc X|f(X) positif ou nul (puisque nul) pour tout X et X|f(X)=0 n'implique pas que f=0.
Sauf erreur(s) de ma part.
Ainsi, il doit probablement y avoir que f est symétrique, auquel cas on utilise bien notre idée conjointe avec aicko.
A+
Bonsoir;
Djeffrey,ça ne marche pas si n'est pas symétrique prends l'exemple d'otto (la rotation vectorielle plane d'angle
).
Supposons alors symétrique et soit,comme l'a bien vu otto et aicko,
une base orthonormée de
formée de vecteurs propres de
associés respectivement aux valeurs propres
remarquons que
Soit alors en écrivant
on voit que
et que
donc
Sauf erreur...
Merci pour toutes vos reponses...
Ca me pose tout de meme un gros probleme car la question d'avant etait :
Pour f dans S(E) prouver l'equivalence f=0 
pour tout x dans E, (x|f(x))=0.
Donc si on a que S+(E) est inclu dans S(E) il n'y a plus trop d'interet pour le cas de f dans S+(E) non ???
oui c'est exact je vien sde m'en apercevoir merci
il semble donc qu'il y ait une erreur d'enoncé...
Merci a tous
Ca remet en cause quelques questions de l'enoncé qu'il faut voir autrement mais ca se fait bien quand meme...
Par contre je rencontre un autre probleme :
L(E) est muni de la norme
Montrer que
1) pr tout x dans E,
2) pr tout x dans E, ou f* est l'adjoint de f
3) etablir
La je m'enmele pas mal dans les deux differentes normes...
Comment faire pour la 1, je pense qu'ensuite je pourrais continuer.
Merci
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