Bonjour marionnette


En fait, l'inclusion est bel et bien stricte au départ et la suite est constante à partir de k=p.
Plus précisément, on veut que cet entier soit le plus petit possible et donc p=n ne convient pas toujours.

Kaiser

je ne comprend pas pourquoi l'inclusion serait stricte dès le départ , si on a u injective alors {0}=Ker u

C'est un cas particulier.
Dans ce cas p=0.

merci j'y vois un peu plus clair mais je ne vois pas trop comment répondre quand même

Pour k entier naturel, posons .
Que dire de la suite ?

elle est strictement croissante

En es-tu sûre ?

au début oui à cause des inclusions, mais elle tend vers n donc il doit y avoir un rang à partir duquel ce n'est plus vrai mais je ne sais pas lequel

OK ! Au début, elle est strictement croissante (sauf dans le cas où u est injective).
Par contre, rien ne dit qu'elle tend vers n (d'ailleurs, c'est faux en général).
Mais qu'à cela ne tienne : elle converge.
Saurais-tu me dire pourquoi ?

Kaiser

elle est croissante, majorée par n donc converge

OK !
Autre chose : comme est une suite d'entiers, on peut dire autre chose. À ton avis, quoi donc ?

Kaiser

à partir d'un certain rang elle doit être constante, non?

C'est bien ça.
Dans ce cas, quel entier p va-t-on prendre ?

p va être le rang à partir duquel la suite est constante

C'est tout à fait ça.
D'après l'énoncé, il faut montrer que l'inclusion est stricte si k est strictement inférieur à p.
Pour cela, il suffit de montrer que si l'on a , alors (plus précisément, si deux termes de la suite sont égaux, alors elle devient constante).
Tu me suis ?

Kaiser

oui je crois, on doit faire un démonstration pas récurrence

En fait, pour simplifier, on ne va pas dire que p est l'entier à partir duquel la suite devient constante mais on va dire que c'est le plus petit entier vérifiant ce qui, a priori n'est pas la même chose (comme ça on n'aura pas à montrer que les inclusions sont strictes pour k

Il suffit donc de faire une récurrence pour montrer que pour tout k supérieur ou égal à p, on a .
J'espère que ce que j'ai dit est assez clair.

Kaiser

je ne vois pas pourquoi on n'aura pas à démontrer que les inclusions sont strictes

Si on dit que p est le plus petit des entiers k qui vérifient , alors ça veut dire que pour k strictement inférieur à p, l'inclusion est stricte.

je ne vois pas trop la difference en prenant p le rang à partir duquel la suite est constante

Je vais prendre un exemple concret.
Imagine une suite réelle telle que et telle que pour tout k supérieur à ou égal à 2, ..
La suite est constante à partir du rang k=2 mais le plus petit entier k qui vérifie , c'est k=0.
Il se trouve que dans le cas qui nous occupe, les deux définitions de p sont équivalentes.

Kaiser

d'accord, je pense que j'ai compris
en tout cas je vous remercie énormément de votre aide et de votre patience

bonne soirée

Mais je t'en prie.

_{Bonne soirée à toi aussi.}