Bonjour skywear.

Heureux de pouvoir collaborer avec toi pour la résolution de ton problème.

Peux-tu préciser ce qu'est le   là où on demande de définir correctement   ?

Alors je ne comprend pas du tout ce que signifie :

x.(H K) x.K

Je dis peut-être une bêtise, c'est assez flou pour moi, je ne comprends pas ce que "fait" cette fonction

Mais vu que (il me semble) et    (j'applique la définition que j'ai de l'ensenble quotient), peut-être que x est dans H ?

Comme ceci me semble plus clair

"Définir correctement les fonctions   et  

Travaillons sur f.
On part donc de H/(H K) dont on prend un élément x.
Pour x₁ et x₂ dans x, est-ce que x₁.K = x₂.K
Si oui, la bonne définition de f est démontrée et on a f(x) = y.K pour n'importe quel élément y de x.

Autrement dit, si x est un élément de H/(H K), est-ce que l'ensemble produit x.K est un élément de G/K.

Est-ce que mon explication te semble claire ?

si x est un élement de * désolé

tout à l'heure j'ai du faire une erreur, je pense que la définition de f sous-entend plutôt que   et à l'arrivée
f n'en reste pas moins obscure à mes yeux :/

Je propose, pour ne pas alourdir le topic, que tu m'envoies par mail un scan du sujet en question (mon mail est normalement visible pour les membres)
Je le travaille.
Et je reviens poster ce que je trouve (comme ça tout le monde va en profiter )
Et on rediscute.

Ça te va ?

Ok jsdvb je t'envoie ça, merci !

Ok, bien reçu et promis tout le monde, je poste un truc propre et compréhensible.

Allez, chose promise, chose due. On va se lancer dans la correction du problème.
Etape par étape, en reprenant du début.

Dans tout ce qui suit, est un groupe noté multiplicativement, de neutre noté .
Comme on note ce groupe multiplicativement, alors, par convention, il n'est pas abélien.
Pour un sous-goupe H de G, la congruence à gauche modulo H est la relation définie sur G par H

C'est une relation d'équivalence et la classe de x pour cette relation est x.H = {x.h | x H}
L'ensemble quotient {x.H | x G} est noté  .
Quand   est un ensemble fini, on nomme "indice de H dans G" et on note [G:H] le nombre #() (cardinal de G/H).

On se propose de démontrer le résultat suivant :

Soient H et K deux sous-groupe d'indice fini de G.
Si [G:K] et [G:H] sont premier entre eux, alors G = H.K = {h.k | hH et k K}

1-a Quels sont les sous-groupes d'indice finis de

Ce sont les n. pour tout entier n 1

Par exemple : prenez 2..
Alors /2 est l'ensemble { ,} où   est l'ensemble des nombres pairs et  
l'ensemble des nombres impairs.

1-b Donner un exemple de sous-groupe d'indice infini d'un groupe G

Classiquement, j'aime bien donner celui-là : /
L'ensemble des classes est même non dénombrable. Et pour cceux qui travaillent sur la mesure de Lebesgue , si vous prenez un représentant de chaque classe dans [0, 1[, vous obtenez un ensemble non mesurable pour
Rappel : / pour tout a et b dans , a - b

1-c Que donne le résultat qu'on cherche à démontrer (25-08-16 à 12:39) appliqué aux sous-groupe de

Simplement que si m et n sont des entiers naturels premiers entre eux alors = n + m.
Ce qui est simplement plus connu sous le nom de Théorème de BEZOUT

2- "Transitivité de l'indice"
Soit G un groupe, H un sous-groupe d'indice fini de G, K un sous-groupe d'indice fini de H.
Montrer que K est d'indice fini dans G et que [G:K] = [G:H].[H:K]

Pour tout k > 0, on note _k = { i / }

Par hypothèse H est un sous-groupe d'indice fini de G. On note m = [G:H].
Il existe donc, par définition, m classes d'équivalence dans G selon la relation   H
Par suite, on choisit _m, famille de m représentants de ces classes. G.

Par hypothèse K est un sous-groupe d'indice fini de H. On note n = [H:K].
Il existe donc, par définition, n classes d'équivalence dans H selon la relation   K
Par suite, on choisit _n, famille de n représentants de ces classes. K.

Montrons alors que la famille _mx_n est une famille de m.n représentants des classes d'équivalence dans G selon la relation   K

(à suivre ...)

Soient donc _mx_n et _mx_n tels que

Alors, en particulier .
Donc il existe kK tel que  
Ce qui implique .
Mais comme , il s'ensuit que
c'est-à-dire d'où
De même , ce qu'on voulait.

Par suite, ,

Par suite est une famille de représentants des classes à gauche de G suivant K.
Conclusion [G:K] est fini.

Et dans ce cas
[G:K] = Card (_mx_n)  = m.n
[G:K] = [G:H].[H:K]

3- Définir correctement les fonctions et  

Ces définitions ne sont pas orthodoxes : ici, x est un élément de H (resp. K) au lieu d'être, comme on pourrait le supposer, un élément de   (resp. ).

Pour la fonction f :

Soit X un élement de . . Dès lors,
Or donc  , et l'inclusion réciproque est évidente :   et par suite,
Or, puisque :

On mène le même raisonnement pour la fonction g.

Dès lors, il semble correct de réecrire f et g de la manière suivante :
et

Montrons alors que f et g sont injectives (on traitera uniquement celle de f, le raisonnement est identique pour g :

Soit , .

Soit (resp. ) un représentant de  X (resp. X'). Supposons par l'absurde que

Alors :

En particulier pour , , soit : donc . Or, donc : c'est absurde car

Par suite, : f est injective ; il en va de même pour g.

4- a En déduire que si H et K sont d'indices finis dans G, H∩K l'est aussi.

Si f est injective, alors Card(H/(H∩K)) ≤ Card(G/K) i.e. [H:H∩K] ≤ [G:K] < par hypothèse
Comme [G:H] . [H:H∩K] = [G:H∩K] par transitivité de l'indice, on déduit que H∩K est d'indice fini dans G.

4- b Montrer que f et g sont bijectives

Pour faire pendent à la question 4a :
Si g est injective, alors Card(K/(H∩K)) ≤ Card(G/H) i.e. [K:H∩K] ≤ [G:H] < par hypothèse

On peut donc écrire :
[G:H∩K]=[G:H].[H:H∩K]
[G:H∩K]=[G:K].[K:H∩K]
Ce qui donne [G:H].[H:H∩K] = [G:K].[K:H∩K] .

Or, par hypothèse, on a supposé que [G:H] et [G:K] étaient premier entre eux.
Donc, par le lemme de Gauss [G:H] divise [K:H∩K] et donc [G:H] ≤ [K:H∩K]
Or on a vu que [K:H∩K] ≤ [G:H] et par suite [K:H∩K] = [G:H].
Par un raisonnement similaire, on obtient [H:H∩K] = [G:K].

Conclusion ∶  le cardinal des ensembles de départ et d'arrivée de f et g est identique.
Comme on a vu que f et g étaient injectives, elles sont alors bijectives.

4- c Démontrer que si [G:K] et [G:H] sont premiers entre eux, alors G = H.K = {h.k / HH et k K }

Soit g un élément de G.
La classe de G dans G/K est donc g.K
Soit alors X un antécédent par f de g.K et h_X un représentant de X (h_X∈H).
Il vient alors f(X) = X.K = h_X.K = g.K
D'où ∶ h_X.K = g.K.
En prenant 1_G dans le membre de gauche, il existe un k K tel que h_X . k^-1 = g .
Ceci étant vrai pour tout g, il résulte que G = H.K (de même G = K.H. Mais ça ne signifie pas que G soit abélien).

CQFD

5- Montrer que ne possède pas de sous-groupes d'ordre fini autre que lui-même.

Tu passais pas en mp* à Chaptal par hasard ?

Bonjour,
Il y a visiblement une coquille dans l'énoncé de la question 5) tel qu'il est écrit : lire "indice" au lieu de "ordre".