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Inégalité complexe

Posté par
infophile 07-09-07 à 20:41

Bonjour

Malgré certaines indications de la prof, je bloque sur la dernière question de mon DM

Citation :
Soient z_1,...,z_n n nombres complexes non nuls. Montrer qu'il existe une partie I inclus dans \{1,...,n\} telle que :

\|\Bigsum_{k\in I}z_k\|\ge \frac{1}{4\sqrt{2}}\Bigsum_{k=1}^{n}|z_k|

Aide :

On pourra considérer les quatre quadrants délimités par les deux bissectrices du repère canonique du plan associé à \mathbb{C}, partager l'ensemble \{1,...,n\} en quatre parties I_1,I_2,I_3,I_4 (certaines pouvant être vides) selon l'appartenance des images z_k à l'un des quadrants et remarquer que le problème est invariant par rotation autour de l'origine.

Voici une illustration pour 6 points :

Inégalité complexe

On a \{I_1=\{1\}\\I_2=\{\empty\}\\I_3=\{5,6\}\\I_4=\{2,3,4\}

La prof nous conseille finalement de choisir le quadrant où la somme des modules est maximale.


J'ai commencé par dire que si on désigne par I_{max} le quadrant où la somme des modules est maximale alors \Bigsum_{k\in I_{max}}|z_k|\ge \frac{1}{4}\Bigsum_{k=1}^{n}|z_k|. Ensuite le \sqrt{2} au dénominateur fait penser à la rotation peut-être ? Je ne vois pas en quoi cette partition du plan permet de résoudre le problème

Merci d'avance pour les éventuelles pistes !

Posté par
gui_toure : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:46

Ah t'as pas résisté, tu l'as posté finalement

Moi j'ai trouvé pour ma question, tout seul

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:47

Merci guitou mon topic est vert maintenant

Posté par
gui_toure : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:49

Mais de rien, je suis là pour ça

Demande à Martin

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:51

Ca m'énerve de sécher ! Voila tu me fais regretter d'avoir posté

Bon espérons qu'une âme charitable passe par là maintenant

Posté par
gui_toure : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:52

Vraiment désolé alors.

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:53

Pas grave je te filerai pas Maple

Je plaisante

Bon allez je continue à chercher

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:56

J'ai réussi à montrer que c'était invariant par rotation autour de l'origine mais bon je ne vois pas comment l'exploiter ensuite

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:56

Salut mon p'tit Kévin

j'ai trouvé ton exercice ET SON CORRIGE sur un livre

tu le veux?

combien TU PAIES?

PS: mes cours d'arabe d'abord

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 20:59

Salut oh grand mohammed

Je veux bien un indice oui !

T'as combien de bouquins chez toi ?

Posté par
perroquetre : Inégalité complexe 07-09-07 à 21:19

Bonjour, infophile.

Supposons que I_{max} soit I_4 (avec tes notations).
Pour tout i de I_4:
Re(z_i)\geq \frac{1}{\sqrt{2}}|z_i|
\displaystyle Re\left(\displaystyle\sum_{i \in I_4} z_i\right)\geq \frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{i\in I_4}|z_i|

Tu ne devrais pas avoir de mal à terminer

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Inégalité complexe 07-09-07 à 21:21

25 en tout

Alors je te recopie le corrigé tel qu'il est pour que je t'embrouille pas et on analyse après si tu veux

Citation :


Considérons les quatre quadrants du plan complexe délimités par les deux droites d'équations respectives y=x et y=-x, en convenant par exemple que le premier quadrant correspond aux nombres complexes d'argument 3$\theta tels que: 3$\frac{-\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}, le deuxièmes aux nombres complexes d'argument 3$\theta tels que: 3$\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{3\pi}{2}, etc.

On partage alors 3$\{1,2,...,n\} en quatre sous-ensembles (certains pouvant être vides) selon le quadrant auquel appartient le nombre complexe 3$z_k considéré, et appelons 3$I l'ensemble des indices correspondant au quadrant pour lequel la somme des modules des complexes appartenant à ce quadrant est maximale.

Cette somme vaut donc plus que le quart de la somme totale:

3$\Bigsum_{k\in I}\|z_k\|\ge\frac{1}{4}\Bigsum_{k=1}^n\|z_k\|\qquad (*)

Remarquons alors que si l'on multiplie tous les nombres 3$z_k par un même nombre complexe de module 1, on ne change pas la propriété à démontrer.
Quitte à multiplier tous les nombres 3$z_k par 3$i ou 3$-1 ou 3$-i, on peut donc supposer que 3$I correspond au premier quadrant.

Or si 3$z=x+iy, avec 3$x et 3$y réels, appartient au premier quadrant, on a 3$x\ge 0 et 3$\|u\|\le x, donc 3$\|z\|=\sqrt{x^2+y^2}\le\sqrt{2}, c'est-à-dire 3$\R e(z)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\|z\|

On a alors: 3$\|\Bigsum_{k\in I}z_k\|\ge \R e\(\Bigsum_{k\in I}z_k\)=\Bigsum_{k\in I}\R e\(z_k\)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigsum_{k\in I}\|z_k\|

Et en retournant au résultat: 3$(*)

3$\blue\fbox{\|\Bigsum_{k\in%20I}z_k\|\ge%20\frac{1}{4\sqrt{2}}\Bigsum_{k=1}^{n}|z_k|}


Mon dieu ce que c'est long et incompréhensible

Posté par
infophilere : Inégalité complexe 07-09-07 à 21:44

Merci à vous deux !

Il me manquait l'indice de perroquet, je ne pense pas que j'y aurais pensé sincèrement


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