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inégalité difficile

Posté par
sara3245854 03-11-23 à 14:47

bonjour tout le monde
voici un exercice que je trouve vraiment difficile
1/(1+n) +1/(2+n) +........+1/2n 17/24
c'est un exercice donne par notre prof j'ai essaye beaucoup de méthode(fonctions,raisonnement,....) mais je n'ai rien trouve
je vous pris de m'aider et merci pour votre temps

Posté par
lakere : inégalité difficile 03-11-23 à 14:56

Bonjour,
Dans un premier temps tu peux démontrer que la suite correspondant au membre de gauche est croissante.
La suite consiste à montrer qu'elle converge vers \ln\,2\leq \dfrac{17}{24}
Je dois m'absenter un petit moment ...

Posté par
carpediemre : inégalité difficile 03-11-23 à 15:37

salut

je ne comprends pas trop ce qui est demandé :

est-il demandé de trouver un entier n tel que 1/(1+n) +1/(2+n) +........+1/2n 17/24 ?

est-il demandé que cette inégalité est vraie pour tout entier n (non nul) ?

Posté par
lakere : inégalité difficile 03-11-23 à 15:47

Je précise un peu les choses :

Tu peux montrer que : \forall x>0\quad \dfrac{x}{x+1}\leq \ln(1+x)

par exemple avec l'étude d'une fonction différence.

Puis avec x=\dfrac{1}{n+k}, prouver que :

\dfrac{1}{n+k+1}\leq \ln(n+k+1)-\ln( n+k)

Inégalité que tu sommes de k=0 à k=n-1
Tu n'as même pas besoin de passer par la croissance.

Posté par
lakere : inégalité difficile 03-11-23 à 15:50

Bonjour carpediem,
Elle est vraie pour tout entier n non nul (la suite croissante converge vers \ln\,2 qui est bien plus petit que \dfrac{17}{24})

Posté par
carpediemre : inégalité difficile 03-11-23 à 16:51

salut lake: oui bien sûr mais ça ne nous dit toujours pas quelle est la question exacte !!

dans quelle cadre (leçon) t'est posée cet exo ?

un complément à la proposition (optimale) de lake :

avec u_n = \sum_{k = 1}^n \dfrac 1 {n + k}

1/ monter que la suite est croissante
2/ montrer que la suite est majorée (aide : par 1)
3/ donc elle converge vers un réel L (et pour tout n on a donc : u_n \le L
3/ montrer que L < 17/24

bon je ne ne sais pas si c'est plus simple

Posté par
thetapinch27re : inégalité difficile 03-11-23 à 22:51

Bonjour,

Exercice très difficile si on ne connaît pas la fonction ln.

Voici une solution qui utilise des manipulations algébriques.

On réécrit l'expression pour faire apparaître une moyenne :
S(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2} = \frac{1}{n}(\frac{1}{1+1/n} + \frac{1}{1+2/n} + ... + \frac{1}{2})

En comparant moyenne arithmétique et quadratique on a :
S(n)\leq \sqrt{ \frac{1}{n}  (\frac{1}{(1+1/n)^2} + \frac{1}{(1+2/n)^2} + ... + \frac{1}{2^2}})  = \sqrt{ n  (\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + ... + \frac{1}{(2n)^2}})

Mais,
\frac{1}{(n+k)^2} \leq \frac{1}{(n+k)(n+k-1)}} = \frac{1}{n+k-1} - \frac{1}{n+k}

D'où (on voit que tous les termes s'éliminent sauf le 1er et le dernier):
S(n)\leq \sqrt{n((\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}) + (\frac{1}{(n+1)} - \frac{1}{(n+2)}) + ... + (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})})} = \sqrt{1-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\leq\frac{17}{24}

**********
Autrement, on peut montrer simplement que cette somme est inférieure à 3/4 (c'est à dire 18/24 et malheureusement pas 17/24). Il suffit de regrouper les termes : le 1er avec le dernier, le second avec l'avant dernier etc ... de mettre au même dénominateur et de constater que la somme est inférieure à n/2*(1er+dernier).

Posté par
fabo34re : inégalité difficile 04-11-23 à 10:18

Exercice difficile (pour un terminal!)
u_1=1/2
u_2=1/3+1/4
u_3=           1/4+1/5+1/6
u_4=                   +1/5+1/6+1/7+1/8

Sans trop de technique, on voit que

u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{1+n}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}

Donc
u_1~~~=1/1-1/2
u_2-u_1=1/3-1/4
u_3-u_2=1/5-1/6
u_4-u_3=1/7-1/8
...

Si on fait la somme, ça se télescope, et on arrive à

u_n=1-1/2+1/3-1/4+1/5

C'est la somme alternée des inverses des entiers:

u_n = \sum_{k = 0}^n \dfrac {(-1)^k} {k+1}

Ensuite, c'est difficile de montrer que ça tend vers ln(2)! Le "17/24", c'est peut-être avec une astuce plus simple, sans le logarithme, mais là je demande à voir !

Posté par
sara3245854re : inégalité difficile 04-11-23 à 11:32

bonjour tout le monde merci beaucoup pour toutes les propositions et je vous prie de m'excuser pour ce retard de réponse je n'ai pas pu vous répondre hier a cause de quelques empêchement
l'exercice consiste a montrer l'inégalité mais sans utiliser la fonction ln juste par des majorations et des fonctions usuelles on a déjà démontrer en classe le 3/4 mais le 17/24 pas encore  

fabo34 @ 04-11-2023 à 10:18

Exercice difficile (pour un terminal!)
u_1=1/2
u_2=1/3+1/4
u_3=           1/4+1/5+1/6
u_4=                   +1/5+1/6+1/7+1/8

Sans trop de technique, on voit que

u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2n+2}+\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{1+n}=\dfrac{1}{2n+1}-\dfrac{1}{2n+2}

Donc
u_1~~~=1/1-1/2
u_2-u_1=1/3-1/4
u_3-u_2=1/5-1/6
u_4-u_3=1/7-1/8
...

Si on fait la somme, ça se télescope, et on arrive à

u_n=1-1/2+1/3-1/4+1/5

C'est la somme alternée des inverses des entiers:

u_n = \sum_{k = 0}^n \dfrac {(-1)^k} {k+1}

Ensuite, c'est difficile de montrer que ça tend vers ln(2)! Le "17/24", c'est peut-être avec une astuce plus simple, sans le logarithme, mais là je demande à voir !

j'ai bien compris cette methode et ça me semble que c'est la plus bonne car c'est exercice dans le chapitre des suites mais je ne vois pas qu'est ce qu'on peut faire apres

Posté par
sara3245854re : inégalité difficile 04-11-23 à 11:35

carpediem @ 03-11-2023 à 16:51

salut lake: oui bien sûr mais ça ne nous dit toujours pas quelle est la question exacte !!

dans quelle cadre (leçon) t'est posée cet exo ?

un complément à la proposition (optimale) de lake :

avec u_n = \sum_{k = 1}^n \dfrac 1 {n + k}

1/ monter que la suite est croissante
2/ montrer que la suite est majorée (aide : par 1)
3/ donc elle converge vers un réel L (et pour tout n on a donc : u_n \le L
3/ montrer que L < 17/24

bon je ne ne sais pas si c'est plus simple

desolée pour ne pas bien precisé l'exercice est dans le chapitre des suites numeriques et on a pas vu la fonction ln encore

Posté par
sara3245854re : inégalité difficile 04-11-23 à 11:42

thetapinch27 @ 03-11-2023 à 22:51

Bonjour,

Exercice très difficile si on ne connaît pas la fonction ln.

Voici une solution qui utilise des manipulations algébriques.

On réécrit l'expression pour faire apparaître une moyenne :
S(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2} = \frac{1}{n}(\frac{1}{1+1/n} + \frac{1}{1+2/n} + ... + \frac{1}{2})

En comparant moyenne arithmétique et quadratique on a :
S(n)\leq \sqrt{ \frac{1}{n}  (\frac{1}{(1+1/n)^2} + \frac{1}{(1+2/n)^2} + ... + \frac{1}{2^2}})  = \sqrt{ n  (\frac{1}{(n+1)^2} + \frac{1}{(n+2)^2} + ... + \frac{1}{(2n)^2}})

Mais,
\frac{1}{(n+k)^2} \leq \frac{1}{(n+k)(n+k-1)}} = \frac{1}{n+k-1} - \frac{1}{n+k}

D'où (on voit que tous les termes s'éliminent sauf le 1er et le dernier):
S(n)\leq \sqrt{n((\frac{1}{n}-\frac{1}{(n+1)}) + (\frac{1}{(n+1)} - \frac{1}{(n+2)}) + ... + (\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})})} = \sqrt{1-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\leq\frac{17}{24}

**********
Autrement, on peut montrer simplement que cette somme est inférieure à 3/4 (c'est à dire 18/24 et malheureusement pas 17/24). Il suffit de regrouper les termes : le 1er avec le dernier, le second avec l'avant dernier etc ... de mettre au même dénominateur et de constater que la somme est inférieure à n/2*(1er+dernier).

salut ça me semble que c'est ce que je cherchais merci beaucoup pour l'explication votre méthode est très bien expliqué j'ai tout compris ça me semble donc l'astuce c'était de trouver une autre écriture de Sn pour trouver la bonne majoration
enfin merci tous pour votre temps et vos explications

Posté par
carpediemre : inégalité difficile 04-11-23 à 12:34

je suis curieux de voir la réponse de ton prof parce que ça me semble tout de même des réponses costaudes en terminale

on peut aussi en rapport avec la proposition de lake faire une comparaison avec une intégrale et l'approximation par la méthode des rectangles qui est vue en terminale et redonne la majoration par ln 2

Posté par
lakere : inégalité difficile 04-11-23 à 16:28

Bonjour,
Un petit rectificatif au message de fabo34 ici :

  

Citation :
C'est la somme alternée des inverses des entiers:

u_n = \sum_{k = 0}^n \dfrac {(-1)^k} {k+1}


Non : si u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n+k}, on a alors :

  u_n=\sum_{k=0}^{{\red 2n-1}}\dfrac{(-1)^k}{k+1}

qu'on peut aussi écrire :

u_n=\sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}

et qui se démontre avec une récurrence un peu délicate.

Au reste, je doute que cette écriture avec une somme alternée des inverses puisse simplifier le problème avec ce \dfrac{17}{24} qui tombe comme un cheveu sur la soupe.

Posté par
fabo34re : inégalité difficile 04-11-23 à 17:16

Merci lake pour cette rectification!

Oui, ce 17/24, il fallait penser à \sqr2 et ses approximations  3/2; 7/5, 17/12, 41/29, .. Ca vient de la fraction continue [1;2,2,...]. Mais on n'étudie plus du tout ça (au lycée ) .Bravo à thetapinch27, même si je n'ai (encore) rien pigé à sa solution , et surtout comment on peut penser à faire un truc pareil!

Bon, maintenant que le problème semble résolu, je me permets une question sur cette somme alternée des inverses des entiers. Je cherchais une solution avec éventuellement une réorganisation des termes pour entrevoir un 17/24, mais forcément nada!  Par contre, je suis tombé sur ce wikipedia : le réarrangement de Riemann

Et là je ne comprends pas comment on peut avoir une limite différente de ln(2) en réorganisant les termes. Ils disent qu'après réorganisation, ce n'est plus la suite alternée et que c'est "normal". Alors que ce sont les mêmes termes, mais pris "mis" un ordre différent? Comment est-ce possible?

Posté par
thetapinch27re : inégalité difficile 04-11-23 à 17:45

Bonjour,

fabo34, de mon point de vue, dégainer l'inégalité des moyennes lorsqu'on a devant nous une moyenne arithmétique est bien plus naturel que de dégainer une intégrale .


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