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inégalité exp
Bonsoir à tous,
j'ai besoin d'aide pour cet exo:
1/ Montrer que pour tout x > 0 , 1/(1+x) + ln(x) < ln(1+x) < 1/x + ln (x)
2/ Déduire que pour tout entier naturel n non nul: (1+1/n)^n< e < (1+1/n)n+1
J'ai fait la 1ère question par contre je ne vois pas du tout comment est-ce que je peux déduire la 2ème. Merci d'avance pour votre aide.
1/(1+x)<ln((1+x)/x)<1/x
comme la fonction ex est croissante..
e1/(1+x)<(1+1/x)<e1/x
On termine en élevant à la puissance (1+x) d'une part et à la puissance x d'autre part.
(2 fonctions croissantes)..et on a nos deux inégalités..
Un précision .. f(x)=ax est un fonction croissante pour a>1.
En effet log(f(x))=x*log(a) est croissant pour log(a)>0 donc pour a>1..
Or ici 1+1/x>1 car x>0
et e1/(1+x)>1 car x>0 et e1/x>1 car x>0..
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