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pour mon fréro. 
Bonjour,
voici la méthode "bourrin" (en attendant de trouver quelque chose de plus élégant 
):
pour des positifs, développer le produit
revient à choisir dans chaque parenthèse écrite un certain terme, à multiplier les n termes choisis, puis à additionner le produit obtenu avec tous les autres produits possibles.Ce produit se développe donc en:
,
où désigne l'ensemble des applications de [1;n] dans lui-même.
Toutes ne sont pas bijectives et chaque terme est positif, donc le résultat précédent est supérieur ou égal à
où désigne l'ensemble des permutations.
Il suffit ensuite de minorer le résultat précédent par |det(A)|.
Il est ensuite aisé d'étendre cette inégalité au cas où les peuvent être négatifs.
Tigweg
Merci Ayoub pour le up ! 
Salut mon tigre , très heureux de te voir encore actif sur l'île !
Tout est capté sauf cette interprétation que je n'arrive pas à suivre jusqu'à la fin !
revient à choisir dans chaque parenthèse écrite un certain terme, à multiplier les n termes choisis, puis à additionner le produit obtenu avec tous les autres produits possibles.Ce produit se développe donc en:
Salut mon row , en effet je reprends un peu de service en ce moment!
Regarde le produit .
Le développer, c'est prendre par exemple le premier terme de la première parenthèse, le troisième terme de la deuxième, le premier terme de la troisième et les multiplier.
Puis on continue ainsi jusqu'à ce que tous les produits possibles aient été écrits, et on additionne les résultats de ces produits.
Mon sigma matérialise le choix effectué dans chaque parenthèse.
Ici, une application de [1;3] dans lui-même donne les choix en question.
Ainsi si on choisit par exemple sigma(1)=1 , sigma(2)=3 et sigma(3)=1 on a bien une application de [1;3] dans lui-même (non bijective dans cet exemple),
et pour ce choix on obtient le produit .
On a bien au final d'accord?
Tigweg
Bonjour.
Je découvre ce topic intéressant.
Ne peut-on pas utiliser la continuité de l'application déterminant en tant que forme n-linéaire de ses vecteurs lignes ?
Bonjour à tous
Moi, je propose de raisonner très simplement par récurrence sur l'ordre de la matrice.
Si A est une matrice carrée d'ordre n+1, En développant par rapport à la première ligne, on trouve: det(A) où
est le cofacteur (1,j) de A. En utilisant l'hypothèse de récurrence, il est alors facile de voir que chaque
est inférieur à
.
Qu'en pensez-vous ?
Bonjour à tous
Heureux que ce topic déchaîne les inspirations et les passions!
Ayoub>En fait je ne sais jamais à quelle taille écrire pour que ce soit lisible
Avant on me reprochait de trop serrer, je préfère donc verser dans l'extrême inverse pour éviter l'absence de lisibilité.Mais je suis loin d'être le seul à latexifier en 4$! 
Raymond>C'est en effet une très bonne idée!Reste juste à voir qu'en choisissant sur la norme 1, la norme de l'application det comme forme multilinéaire est inférieure ou égale à 1.
blang> D'accord, mais à choisir entre deux solutions bourrines je préfère celle sans récurrence, je trouve qu'on "voit" mieux!
Tigweg
à choisir entre deux solutions bourrines
Heu, je trouve ma solution beaucoup moins bourrine que la tienne
Pour départager Tig et Blang, je dirais simplement que quand y'en a bourrin,y'en a bour deux...
Pas mal jeanseb!
Salut à vous deux!
blang-> Je ne voulais pas te vexer, ce que je disais au sujet de la récurrence était vraiment à prendre au pied de la lettre, et ne t'était nullement adressé
Bonsoir perroquet,
le résultat de monrow ou le tien n'admettent-ils pas une démonstration à l'aide des déterminants de Gram?
Tigweg
Bonsoir, Tigweg
En ce qui concerne le résultat de Monrow:
je trouve ta démonstration très élégante (et efficace).
Je ne pense pas que les déterminants de Gram puissent permettre de trouver les deux résultats en question.
Mais je peux me tromper
Merci! 
Je ne pense pas que les déterminants de Gram puissent permettre de trouver les deux résultats en question.
->OK!
En fait je dois confondre avec autre chose, mais dès que j'ai vu ce topic ça m'y a fait penser!
Malgré mes recherches dans ma bibliothèque, je n'ai rien trouvé, je voulais être sûr.
Tigweg
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