Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Inégalités des traces

Posté par
Panter Correcteur 09-04-07 à 23:13

Salut ! Pour cette soirée je vous propose l'exercice suivant :

Soit 4$ n \in \mathbb{N}^* .
1)a) Montrer que : 4$ \forall (X,X^') \in \(S_n^+)^2 , 4$ tr(XX^') \leq tr(X)tr(X^')

b) Montrer que si 4$ n \geq 2; alors: 4$ \forall (X,X^') \in \(S_n^{++})^2 , 4$ tr(XX^') < tr(X)tr(X^').

2) Montrer que : 4$ \forall(A,B) \in (\mathfrak{M}_n(\mathbb{R}))^2 on a : 4$ ||AB|| \leq ||A||.||B||
Avec 4$ ||.|| désigne la norme euclidienne canonique sur 4$ \mathfrak{M}_n(\mathbb{R}) définie par : 4$ ||A||=(tr(^tAA))^{\frac{1}{2}}

3)Soient 4$ p \in \mathbb{N}^*-\{1\} et 4$ A_1 ,\cdots, A_p \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{R}).

Montrer que 4$|tr(\bigprod_{i=1}^{p} A_i)| \leq \bigprod_{i=1}^{p} ||A_i|| .

J'espère que vous trouverez cet exo interessant, Bonne recherche

Posté par
nassoufa_02re : Inégalités des traces 09-04-07 à 23:16

Bonsoir
il m'a l'air très joli mais que veux tu dire par \Large S^+_n stp ?

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalités des traces 09-04-07 à 23:21

*4$ S_n^+ est l'ensemble des matrices symétriques positives de 4$ S_n(\mathbb{R}).

*4$ S_n^{++} est l'ensemble des matrices symétriques définies- positives de 4$ S_n(\mathbb{R}).

Posté par
raymond CorrecteurInégalités des traces 10-04-07 à 12:44

Bonjour.

Je vais tenter la question 1°).

Soient X et Y deux matrices symétriques positives. On sait que leurs valeurs propres sont réelles et positives (ou nulles). Désignons par x1, ... , xn les valeurs propres de X et par y1, ... , yn celles de Y.

Tr((X+Y)²) = Tr(X² + XY + YX + Y²) = Tr(X²) + Tr(XY) + Tr(YX) + Tr(Y²). Or, Tr(XY) = Tr(YX), donc :
2Tr(XY) = Tr((X+Y)²) - Tr(X²) - Tr(Y²)

2$\textrm 2Tr(XY) = \Bigsum_{i=1}^{n}(x_i+y_i)^2 - \Bigsum_{i=1}^{n}x_{i}^2 - \Bigsum_{i=1}^{n}y_{i}^2

D'où :

2$\textrm Tr(XY) = \Bigsum_{i=1}^{n}x_iy_i

Ce sigma peut être vu comme le produit scalaire de deux vecteurs de 2$\mathbb{R}^n. L'inégalité de Schwarz donne alors :

2$\textrm Tr(XY) = \Bigsum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \ \big(\Bigsum_{i=1}^{n}x_{i}^2\big)^{1/2}\big(\Bigsum_{i=1}^{n}y_{i}^2\big)^{1/2}

De plus :

2$\textrm\Bigsum_{i=1}^{n}x_{i}^2 \le \ \big(\Bigsum_{i=1}^{n}x_{i}\big)^{2} (les doubles produits sont positifs). (I)

Donc, finalement :

2$\textrm Tr(XY) = \Bigsum_{i=1}^{n}x_iy_i \le \ \Bigsum_{i=1}^{n}x_{i}\times\Bigsum_{i=1}^{n}y_{i}.

Ce qui donne bien l'inégalité : Tr(XY) < Tr(X).Tr(Y)

Dans le cas où X et Y sont définies positives, les xi et yi sont strictement positifs, donc, l'inégalité (I) devient stricte à condition d'avoir au moins un double produit (c'est-à-dire n > 1). Dans ce cas, on aura alors :

Tr(XY) < Tr(X).Tr(Y)

Je regarde la suite. A plus RR.

Posté par
lyonnaisre : Inégalités des traces 10-04-07 à 15:50

Bonjour

Pour la 1), une autre manière de voir les choses, qui revient au même :

X€S(n)+  donc  il existe P € O(n) tq  t(P)XP = D = diag(x1,...,xn)  avec  les  xi positifs ou nuls

De même :

Y€S(n)+  donc  il existe Q € O(n) tq  t(Q)YQ = H = diag(y1,...,yn)  avec  les  yi positifs ou nuls

Ainsi, on peut faire intervenir le produit scalaire :

tr(XY) = tr(t(X)Y) car X est symétrique

          = (X|Y)

Et donc par l'inégalité de Cauchy Schwarz :

tr(XY) (X|X)1/2.(Y|Y)1/2

Or :

(X|X) = tr(t(X)X)

          = tr(X²)

          = tr((PDt(P))(PDt(P))

          = tr(PD²t(P))

          = tr(D²)   avec Tr(D²) = x1²+...+xn²  car  D est diagonale

           (x1+...+xn)²     car les doubles produits sont postifs

De même pour (Y|Y)

D'où le résultat ... :D

Cela vous parait-il juste ?

Romain

Posté par
lyonnaisre : Inégalités des traces 10-04-07 à 15:52

Bien sur, à la fin de ma démonstration, il faut rajouter que 2 matrices semblables ont même trace donc :

Tr(X) = Tr(D) = x1+...+xn

et

Tr(Y) = Tr(H) = y1+...+yn

Posté par
lyonnaisre : Inégalités des traces 10-04-07 à 16:16

Pour la question 2)

Je trouve que l'inégalité demandé est vrai si l'on considère :

||A|| = n||A||oo

Donc comme Mn(K) est de dimension finie et que toutes les normes y sont donc équivalentes

Il doit y avoir moyen de conclure avec ça ...

Je suis sur la bonne piste ?

Romain

Posté par
raymond Correcteurre : Inégalités des traces 10-04-07 à 18:35

Bonjour à tou(te)s.

Lyonnais : Pour la question 1°), j'avais commencé comme toi pour me rendre compte ensuite que la trace étant indépendante de la base, on avait de toute façon Tr(A) = somme des valeurs propres.
Pour la question 2°) je propose ceci.

2°) ||AB||² = Tr[t(AB).(AB)] = Tr[tBtA.A.B] = Tr[BtB.tAA].
Examinons de plus près les deux matrices M = BtB et N = tAA.

a) En calculant tM et tN, on voit que M et N sont symétriques.

b) Soit X un élément quelconque de \mathbb{R}^n.

¤ tXMX = tXBtBX = t(tBX).(tBX) = ||tBX||²
(où ||.|| est ici la norme canonique sur \mathbb{R}^n : tX.X = ||X||²).
On en déduit que tXMX = ||tBX||² > 0.
Conclusion M = BtB est symétrique positive.

¤ En calculant de même tXNX, on arrive à ||AX||², donc N = tAA est aussi symétrique positive.

Ceci signifie que ||AB||² = Tr(M.N) M et N symétriques positives, donc, d'après 1°) on aura :
||AB||² < Tr(M).Tr(N)
Mais Tr(M) = Tr(BtB) = Tr(tBB) = ||B||² et Tr(N) = Tr(tAA) = ||A||².
Finalement :

||AB|| < ||A||.||B||

Par contre, cette norme n'est pas une norme d'algèbre car il faudrait en plus ||In|| = 1.

A plus RR.

Posté par
lyonnaisre : Inégalités des traces 10-04-07 à 18:46

Géniale ta démonstration Raymond ... merci !!

Posté par
raymond Correcteurre : Inégalités des traces 10-04-07 à 19:19

Paradoxalement, j'ai eu moins de difficulté que pour la question 1°).

3°).

a) Etudions le cas p = 2.

|Tr(AB)| = |Tr[t(tA)B]| = |< tA,B >| < ||tA||.||B|| (Schwarz).
Or, ||tA||² = Tr(AtA) = Tr(tAA) = ||A||².

D'où : |Tr(AB)| < ||A||.||B||

b) supposons cette propriété vraie à l'ordre p-1. Montrons là pour p.

Tr(A1...Ap-1.Ap) = Tr(B.Ap) < ||B||.||Ap||, où l'on a posé B = A1...Ap-1. Il ne reste qu'à utiliser la relation de récurrence :


3$\textrm\fbox{|Tr(\prod_{i=1}^{p}A_i)| \le \ \prod_{i=1}^p||A_i||}

A plus RR.

Posté par
lyonnaisre : Inégalités des traces 10-04-07 à 20:01

Parfait :D

Attendons la correction de Panter, mais je pense que c'est nikel

Juste une question : bien que ma méthode ne soit pas optimale pour la question 1), tu est d'accord qu'elle marche ?

Romain

Posté par
Panter Correcteurre : Inégalités des traces 10-04-07 à 23:50

C'est parfait mesieurs Félicitation !

Comment avez vous trouvez cet exo, interessant ?

Posté par
raymond Correcteurre : Inégalités des traces 10-04-07 à 23:55

Bonsoir Panter.

Oui, sujet très intéressant. Je ne connaissais pas la question 1°).
Par contre, j'avais déjà travaillé sur ce produit scalaire "canonique" sur M(n,R) et utilisé le fait que les matrices du type tA.A sont positives.

A plus RR.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !