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Inequalitée difficile à demontrer

Posté par
LoveByKev
12-04-13 à 23:01

Bonsoir,
En faisant des exercices sur mon livre je suis tombé sur un exercice très bien.
J'ai réussi à traiter les premiers question mais je bloque à la 2b)
Voici l'énoncé:

On considere deux suite (Un) et (Vn) definies, pour tout entier naturel non nul par:
u_{1}=1
u_n = u_{n-1} + 1/n
w_n = u_{n} - ln(n)

1a) calculer  u_{2},u_3,u_4
u_{2}=3/2
u_{3}=11/6
u_{4}=25/12

1b) Montrer que pour tout entier n non nul: u_{n}=\sum_{k=1}^n 1/k
J'ai réussi a le démontrer

2a) Montrer que pour tout entier k non nul:\frac{1}{(k+1)}\le\int_k^{k+1} \frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k}
J'ai reussi a demontré.

Je bloque à partie de la question suivante
2b) En déduire que pour tout n superieur ou égal à 2, on a les inégalité suivantes:

u_n - 1 \le ln(n) \le u_n - 1/n
et
0 \le w_n \le 1
3) Montrer que pour tout n non nul:
w_{n+1} - w_n = \frac{1}{n+1} - \int_n^{n+1} \frac{1}{x}dx

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inequalitée difficile à demontrer 12-04-13 à 23:17

Bonsoir, Ecrit \frac{1}{(k+1)}\le\int_k^{k+1} \frac{1}{x}dx \le \frac{1}{k} pour k = 1 puis 2 puis 3, .. jusqu'à n.
Puis additionne ces inégalités membre à membre. Qu'est-ce que tu obtiens ?

Posté par
LoveByKev
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 00:05

J'obtiens
(\sum_{k=1}^{n+1}1/k) -1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le\sum_{k=1}^{n}1/k

(\sum_{k=1}^{n}1/k) - 1+\frac{1}{n+1}\le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le u_n

u_n + \frac{1}{n+1} - 1\le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le u_n

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 12:20

(\sum_{k=1}^{n+1}1/k) -1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le\sum_{k=1}^{n}1/k  u_{n+1} -1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le u_n

Il te reste à intégrer ce qu'il y a au milieu.

Posté par
LoveByKev
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 15:14

Je suis de nouveau bloqué.

u_{n+1} -1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le u_n

u_{n} +\frac{1}{n}-1 \le ln(n+1} \le u_n

u_{n} - 1 \le ln(n+1) -\frac{1}{n} \le u_n -\frac{1}{n}

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 16:05

non, c'est plus simple que ça, quand tu en es à  u_{n+1} -1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \le u_n  u_{n+1} -1 \le ln(n+1) \le u_n

Tu peux écrire ces inégalités pour toutes valeurs de n. Ecrit les pour n-1 au lieu de n, ça donne :

 u_{n} -1 \le ln(n) \le u_{n-1}  u_{n} -1 \le ln(n) \le u_{n}-\dfrac{1}{n}

Posté par
LoveByKev
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 16:58

on a le droit de l'écrire pour n-1 sans justifier ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 17:09

Oui une inégalité valable pour toute valeur de n, on peut l'écrire pour le n que l'on veut, donc pour n-1.

Tu aurais également pu additionner les égalités que jusqu'à n au lieu de n+1, ça t'aurait éviter de faire cette gymnastique.

Posté par
LoveByKev
re : Inequalitée difficile à demontrer 13-04-13 à 17:15

Merci beaucoup pour votre aide



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