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Inéquation logarithme neperien

Posté par
Togen
29-01-21 à 11:14

Bonjour, j'ai juste une question concernant cette inéquation à résoudre :
ln(1-e^(-x))<=2

Pour le domaine de validité : il fait que 1-e^(-x)>0 => x=>0 donc D=]0;+infini[

Par contre pour résoudre j'au un problème :
Sur D, ln(1-e^(-x))<=2
1-e^(-x)<=e^2
-e^(-x)<=e^2-1
e^(-x)<=(e^2-1)/-1
-x=>ln(-e^2+1) mais la il y a un problème alors que j'ai presque fini, on ne peut pas faire ln(-e^2+1) car -e^2+1<0
Donc j'ai fair une erreur dans mon calcul ?

Merci d'avance

Posté par
sanantonio312
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:21

Bonjour
Oui, il y a une erreur lorsque tu passes de
-e^(-x)<=e^2-1
à
e^(-x)<=(e^2-1)/-1

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:23

Je ne vois pas l'erreur, il faut diviser les deux membres par -1 pour pouvoir simplifier -exp(-x) non ?

Posté par
patrice rabiller
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:27

Bonjour
Ta réponse est correcte au début.
Tu arrives à : -e^{-x}\leq e^2-1
tu en déduis alors : e^{-x} \geq 1-e^2
Et tu conclus que cette inégalité est toujours vraie (à justifier bien sûr).

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:35

Je dois normalement donner la réponse sous forme d'ensemble solution, il n'est pas possible d'isoler totalement le x ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:41

Bonjour,
Si tu avais à résoudre dans l'équation \; x2 > -2 , tu ne pourrais pas isoler x.
Mais tu pourrais donner l'ensemble des solutions quand même.

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 11:43

Ah d'accord, c'est la première fois que j'ai un exercice où l'on ne peut pas isoler le x (j'allais mettre S=ensemblevide)
Par contre je ne vois pas l'ensemble qu'il fait donner du coup

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:05

Isoler x n'est pas un but en soi pour résoudre une équation.
C'est une méthode qui permet souvent de trouver l'ensemble des solutions quand cet ensemble n'est pas évident.

Tu n'as jamais eu à résoudre des choses comme (x-4)2 > -7 ?
Plus simple :
Que donnerais-tu pour ensemble des solutions de \; x2 > -2 \; ?
Autrement dit, quel est l'ensemble des réels x qui vérifient \; x2 > -2 \; ?

Pour ton équation avec ln, regarde un peu ce qui se passe si tu remplaces x par 5, 47, 2021 ou 1/2021

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:11

Pour x^2>-2 c'est l'ensemble des réels sauf 0

Je trouve des nombres inférieurs à 2

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:17

02 n'est pas supérieur à -2 ?

Citation :
Je trouve des nombres inférieurs à 2
Pour l'inéquation avec ln sans doute.
Donc tous les réels que j'ai cités sont solutions.
En fait, dès que \; ln(1-e-x) \; est défini, on a \; ln(1-e-x) < 0 \; car \; 1-e-x < 1 .

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:20

D'accord merci mais donc comment dois-je noter l'ensemble solution ?
Vous avez dit que c'est <0 alors que j'ai trouvé D=]0;+infini[ donc ln(1-exp(-x)) n'appartient pas à D ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:28

Pourquoi veux-tu que ln(1-exp(-x)) appartienne à D ?
C'est x qui doit appartenir à D.
Pour ln(1-exp(-x)), on veut seulement qu'il soit inférieur ou égal à 2.

Je reviens à l'exemple plus simple :
Comment écrirais-tu l'ensemble des solutions réelles de l'inéquation x2 > -2 ?

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:36

L'ensemble R ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:45

Oui pour x2 > -2
Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Togen
re : Inéquation logarithme neperien 29-01-21 à 12:49

D'accord merci pour votre aide, bonne après-midi !



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