Niveau terminale

Inéquation logarithmique

Posté par
Ehrmantraut 10-09-24 à 20:11

Bonsoir à tous,

Il m'est demandé de résoudre:
$\sqrt{\log_2(x^{2})}<\log_2(8x)-7$

Mon raisonnement:
Conditions d'existence:
$x²>0$ et $8x>0$ et $\log_2(x^{2}) \geq 0$
Conclusion: $x \geq 1$

Je constate que:
$\log_2(8x)-7=\log_2(\dfrac{x}{16})$

A ce stade, on est à:
$\sqrt{\log_2(x^{2})}<\log_2(\dfrac{x}{16})$

Pour être sol, $\log_2(\dfrac{x}{16})>0$
Donc $x>16$

Les deux membres de l'inéqution étant positifs, je peux élever au carré chaque membre dans le but d'enlever la racine:
$\log_2(x^{2})<(\log_2(\dfrac{x}{16}))²$

J'avoue que là, ça m'aide pas trop, je cale...
Des idées?

Merci!

Posté par re : Inéquation logarithmique 10-09-24 à 20:26

salut

en fait passer à log (x/16) n'est pas pertinent

ton inéquation s'écrit $2 \log x < (\log x - 4)^2$

et si tu posais $y = \log x$ ?

Posté par re : Inéquation logarithmique 10-09-24 à 20:28

pas nécessaire mais si ça aide :

et si tu posais $y = \log x$ que reconnais-tu ?

Posté par re : Inéquation logarithmique 10-09-24 à 20:38

J'arrive donc à:
$x>256$

Je n'aurais pas pensé à réécrire $\left(log2\left(\dfrac{x}{16}\right)\right)^{2}$ sous la forme $(log2(x)-4)^{2}$

Un grand merci!
Le genre d'exercices qui aide à progresser.

Bonne soirée

Posté par re : Inéquation logarithmique 10-09-24 à 22:04

sans développement je te fais confiance pour le résultat ...

de rien et à toi aussi

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