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Inéquations avec fonctions logarithmes

Posté par
Samsco 01-05-20 à 20:03

Exercice :

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Résoudre dans les inéquations suivantes:

a)~1+\ln x<0
Contraintes sur l'inconnue :
x>0 x]0 ; +[
1+\ln x<0 \\ \iff \ln (xe)<\ln1 \\ \iff xe<1 \\ \iff x< 1/e \\
L'ensemble des solutions de l'inéquation est : ]0 ; 1/e[

b) \dfrac{x}{\ln x}\leq 0
Contraintes sur l'inconnue x>0 et x?1  , x]0 ; 1[U]1 ; +[ ,

\dfrac{x}{\ln x}\leq 0 \\ \\
Je ne sais pas comment étudier le signe de ln x

c)~(x-e)(\ln x-1)>0
Contraintes sur l'inconnue :
x>0 x ]0 ; +[,
C'est pareil ici

d)~\ln(3x+2)\leq \ln(x-1)
Contraintes sur l'inconnue :
3x+2>0 et x-1>0 , x]1 ; +[

\ln(3x+2)\leq \ln(x-1) \\ \iff 3x+2\leq x-1 \\ \iff 2x+3\leq 0 \\ \iff x\leq -\dfrac{3}{2}
L'inéquation n'a pas de solution

e)~x\ln|x|<0
Contraintes sur l'inconnue :
x]0 ; +[
Je ne sais pas comment résoudre.

f)~\ln(3x+2)\geq \ln(x-1) \\ e)~9-\ln x²>0 \\

malou edit > Ltx corrigé

Posté par
pfffre : Inéquations avec fonctions logarithmes 01-05-20 à 20:06

bonsoir le a) est illisible

Posté par
verdurinre : Inéquations avec fonctions logarithmes 01-05-20 à 20:20

Bonsoir,
pour le b) il s'agit d'un produit.
Avec les contraintes que tu as donnée, en particulier x>0, il suffit d'avoir ln(x)<0.

Pour le c) c'est un peu pareil : on étudie le signe d'un produit.
Il est strictement positif si et seulement si les deux facteurs sont strictement positifs ou strictement négatifs.
C'est à dire :
x-\mathrm{e}>0 et -1+\ln x>0
ou
x-\mathrm{e}<0 et -1+\ln x<0

Pour le e) la contrainte que tu donnes est fausse.
La valeur absolue de x est toujours positive.

Posté par
pfffre : Inéquations avec fonctions logarithmes 01-05-20 à 20:22

pour le b) l'ensemble de validité est correct pour étudier le signe de f(x) = x/ln(x)
tu fais un tableau

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 01-05-20 à 21:10

Bonsoir

Pourquoi faire un tableau ?  Le signe de f ne dépend que du signe de \ln x.

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 01-05-20 à 23:54

OK )
b) ~\dfrac{x}{\ln x}\leq 0 \iff ln x <0 \iff 0<x<1
L'ensemble des solutions de l'inéquation est : ]0 ; 1[

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 00:17

c)
x-e>0 ~et~ -1+\ln x>0 \\ Ou \\ x-e<0~et~-1+\ln x<0 \iff x>e~et~\ln(xe^{-1})>0 \\ Ou \\ x<e~et~\ln (xe^{-1})>0  \iff x>e~et~xe^{-1}>1 \\ Ou \\ x<e~et~0<xe^{-1}<1 \iff x>e~et~x>e \\ Ou \\ x<e~et~0<x<e \iff x \in ]e ; +\infty[ \\ Ou \\ x \in ]0~;~e[
L'ensemble des solutions de l'inéquation est: ]0 ; e[U]e ; +[

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 00:44

Pour e) x]- ; 0[U]0 ; +[

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 06:54

Je rectifie quelque chose.

c)
x-e>0~et~-1+\ln x>0 Ou \\ x-e<0~et~-1+\ln x<0 \\ \\ \iff x>e~et~\ln(xe^{-1})>0 \\ Ou \\ x<e~et~\ln (xe^{-1})<0 \\ \\ \iff x>e~et~xe^{-1}>1 \\ Ou \\ x<e~et~0<xe^{-1}<1 \\ \\ \iff x>e~et~x>e \\ Ou \\ x<e~et~0<x<e \\ \\ \iff x \in ]e ; +\infty[ \\ Ou \\ x \in ]0~;~e[
L'ensemble des solutions de l'inéquation est: ]0 ; e[U]e ; +[

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 10:47

b) oui
c) Pourquoi ne choisissez-vous pas la solution la plus simple

x>0 \  \mathcal{D} =\R_+^*

x-\text{e}>0 \iff >\text{e}

\ln x-1 >0 \iff \ln x >1  donc x>\text{e}

Chaque facteur étant positif (resp négatif ) simultanément leur produit sera positif sur \mathcal{D}

L'ensemble solution est donc ]0~;~\text{e}[\cup]\text{e}~;~+\infty[

d) \emptyset

e)  \mathcal{D}=\R*

\vert x\vert \geqslant0   x ne doit donc pas être nul

x>0  \iff x>0

\ln \vert x \vert  >0 \iff  \vert x\vert >1 + tableau

f voir d)  pour la résolution et non pour la conclusion.

e identités remarquables

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 11:07

e) x>0 et |x|>1
La valeur absolue de x supérieur à 1 est équivalente à quoi?

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 11:12

f)

x\in ]1~;~+\infty[ \\ \\ \ln(3x+2)\geq \n(x-1) \\ \\ \ln (x-1) \leq \ln (3x+2) \\ \\ x-1\leq 3x+2 \\ -2x-3 \leq0 \\ 2x\geq 3 \\ x\geq \dfrac{3}{2}
L'ensemble des solutions de l'inequation est :]3/2 ; +[

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 11:25

e) Contraintes sur l'inconnue :
x²>0 , x*

\\ \iff 9-\ln x²>0 \\ \\ \iff \ln x² < 9 \\ \\ \iff \ln x²<\ln(e^9) \\ \\ \iff x²<e^9 \\ \\ (x-\sqrt{e^9})(x+\sqrt{e^9})<0
L'ensemble des solutions de l'inequation est :]-(e9) ; 0[U]0 ; (e9)

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 11:26

Il manque un \ln   deuxième ligne

Non car il y a une erreur de signe. La dernière fois vous aviez trouvé -\dfrac{3}{2}

donc l'ensemble solution est \mathcal{D}

\vert x\vert >1 \iff  (x<-1 ou x >1)

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 11:39

J'avais lu \ln ^2 x

oui \left]-\sqrt{\text{e}^9}~;~0\right[ \cup \left]0~;\sqrt{\text{e}^9}\right[

Pourquoi mélangez-vous les deux écritures

racine  ; \sqrt{}

union \cup

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 12:24

Donc |x|>a x<-a ou x>a

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 12:34

Oui  Cela se démontre très bien.

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 12:39

E) x>0 et|x|>1 x>0 et x>1
L'ensemble des solutions de l'inequation est :]1; +[

Posté par
Ryanprepare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 12:59

Salut Samsco

Ton ensemble de définition est faux.
Reprend le donc puis refait ton calcul.
N'oublie pas que c'est une valeur absolue que tu a dans ton ln et que

\forall\x\in\mathbb{R},|x|\geq ..

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:02

L'ensemble de définition est R*

Posté par
Ryanprepare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:17

Voilà du coup quelle est ta réponse ?

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:20

Ryanprepa @ 02-05-2020 à 13:17

Voilà du coup quelle est ta réponse ?

Déjà répondu à 12h39

Posté par
Ryanprepare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:27

Non il manque une partie des solutions avec x=-3 cela se voit directement.

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:34

Mais je ne vois où j'ai fauté

Posté par
Ryanprepare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:38

Fait un tableau de signe tu verra directement.
x est négative sur R-*.
Puis faits en un pour ln|x| qui n'est négatif que lorsque |x|[0;1] 0 exclu évidemment.

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:46

Pourquoi pas 1 exclu aussi?

Posté par
Ryanprepare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:49

Oui strictement négatif 1 exclu désolé

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:50

Je vous avais dit

Citation :
e)  \mathcal{D}=\R*

\vert x\vert \geqslant0 x ne doit donc pas être nul

x>0  \iff x>0

\ln \vert x \vert  >0 \iff  \vert x\vert >1 + tableau


Vous n'avez pas effectué le tableau

Inéquations avec fonctions logarithmes

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:57

Ah ok,je vois maintenant

Posté par
littleguyre : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:58

Bonjour,

> hekla

Je n'ai pas compris votre ensemble vide pour d) à 10h47 .

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 13:58

L'ensemble des solutions de l'inequation est donc ]- ; -1[U]0 ; 1[

Posté par
littleguyre : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:07

Au temps pour moi. Désolé.

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:13

Bonjour littleguy

d \ln (3x+2)\leqslant \ln (x-1) ;  \mathcal{D}=]1~;~+\infty[

3x+2\leqslant x-1 \iff  2x\leqslant -3  d'où x\leqslant-\dfrac{3}{2}

Les réels x tels que x\leqslant -3/2 n'appartiennent pas à \mathcal{D} d'où \emptyset

Y aurait-il une erreur ?

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:13

littleguy @ 02-05-2020 à 14:07

Au temps pour moi. Désolé.

L'ensemble de définition est

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:15

littleguy
Il n'y a pas de quoi. Je fais bien moult erreurs  alors pourquoi pas ici !

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:16

solution  pas de définition

Posté par
malou Webmasterre : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:26

Samsco @ 02-05-2020 à 14:13

littleguy @ 02-05-2020 à 14:07

Au temps pour moi. Désolé.

L'ensemble de définition est


samsco > non !!

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 14:45

Ok ,c'est la réponse de littleguy qui m'as fait pensé ça

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 15:04

Cela va bien plus vite lorsque l'ensemble de définition est vide !

Posté par
Samscore : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 15:29

Ouais
Bon je crois que j'ai finis
Merci!

Posté par
heklare : Inéquations avec fonctions logarithmes 02-05-20 à 15:42

Je pense aussi que tous les exercices ont été traités et corrigés
De rien.


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