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Inéquations trigos

Posté par
Samsco 24-04-20 à 08:02

Bonjour à tous ,j'ai besoin de votre aide svp

Exercice :

Résoudre dans D les inéquations suivantes et représenter les images de leurs solutions sur le cercle trigonométrique.

a)\sin²(x)-\dfrac{1}{2}\leq 0~~~~D=]-\pi ; \pi] \\ \\ b) \cos x(2\sin x-1)\leq 0~~~~D=]-\pi ; pi] \\ \\ c) 2\cos²(x)+\sqrt{3}\cos x \geq0 ~~~~D=[0 ; 2\pi[ \\ \\ d) 4\sin²(x)+2(\sqrt{2}-1)\sin x-\sqrt{2}\leq 0~~~~D=[0 ; 2\pi[

Réponses :

a)\sin²(x)-\dfrac{1}{2}\leq0 \\ \\ \sin²(x)\leq \dfrac 1 2 \\ \\ |\sin x|\leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\leq \sin x \leq \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ S=]-\pi ; -\frac{3\pi}{4}]U[-\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{4}]U[\frac{3\pi}{4} ; \pi]

Posté par
fil51re : Inéquations trigos 24-04-20 à 10:49

Bonjour,

C'est bien parti.
Continuez vos efforts

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 13:48

\\ \cos x(2\sin x -1)\leq 0 \\ \\ \iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ 2\sin x-1\geq0 \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array}l \cos x\geq0 \\ 2\sin x-1\leq0 \end{array}

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ \sin x\geq\dfrac{1}{2} \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\  \sin x\leq\dfrac{1}{2} \end{array}

\iff x\in [\frac{\pi}{2} ; \frac{2\pi}{3}]~~ou~~x\in [-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{3}] \\ \\ S=[0 ; \frac{\pi}{3}]U[\frac{\pi}{2} ; \frac{2\pi}{3}]U[\frac{3\pi}{2} ; 2\pi[

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 15:01

sin /3 n'est pas égal à 1/2 . . .

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 15:09

\\ \cos x(2\sin x -1)\leq 0 \\ \\ \iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ 2\sin x-1\geq0 \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array}l \cos x\geq0 \\ 2\sin x-1\leq0 \end{array}

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ \sin x\geq\dfrac{1}{2} \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\  \sin x\leq\dfrac{1}{2} \end{array}

\iff x\in [\frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{6}]~~ou~~x\in [-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{6}] \\ \\ S=[0 ; \frac{\pi}{6}]U[\frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{6}]U[\frac{3\pi}{2} ; 2\pi[

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 15:35

D'accord, mais on demande la solution dans  ]- ; ].

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 15:42

Oui c'est vrai j'ai résolu dans [0 ;2π[

S=[-π/2 ; π/6]U[π/2 ; 5π/6]

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 16:11

Oui.

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 18:57

c) \\ 2\cos²(x)+\sqrt{3}\cos x\geq0 \\ \iff \cos x(2\cos x+\sqrt{3}})\geq0

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ 2\cos x+\sqrt{3}\leq0 \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\ 2\cos x+\sqrt{3}\geq0 \end{array}

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq 0 \\ \cos x\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\ cos x\geq \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

\iff x\in[\pi/2~;~3\pi/2]~ou~x\in[-\pi/2~;~\pi/2] \\ \\ S=[0 ; 2\pi[

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 19:36

Il y a une erreur quelque part car, pour  x = 2/3 , l'expression prend une valeur négative. Or cette valeur appartient à l'intervalle  [/2; 3/2] . . .

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 19:39

l'erreur est à quel niveau?

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 19:56

2cos x +  3 .

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 24-04-20 à 20:08

c) \\ 2\cos²(x)+\sqrt{3}\cos x\geq0 \\ \iff \cos x(2\cos x+\sqrt{3}})\geq0

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq0 \\ 2\cos x+\sqrt{3}\leq0 \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\ 2\cos x+\sqrt{3}\geq0 \end{array}

\iff \left\lbrace\begin{array} l \cos x\leq 0 \\ \cos x\leq -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \cos x\geq0 \\ cos x\geq -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}

\iff x\in[-5\pi/6~;~5\pi/6]~ou~x\in[-\pi/2~;~\pi/2] \\ \\ S=[0~;~\pi/2]U[5\pi/6~;~7\pi/6]U[3\pi/2~;~2\pi[

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 24-04-20 à 20:33

Exact.

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 25-04-20 à 13:14

La dernière est un peu bizarre  ,j'ai d'idée

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 25-04-20 à 15:04

d) Tu pourrais poser  sin x = X  et résoudre d'abord l'équation en X.

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 25-04-20 à 15:50

On pose X=sin x

On a :

4X²+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2}\leq 0 \\ \\ *~4X²+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2} \\ \\ \Delta=12+8\sqrt{2}=(2\sqrt{2}+2})² \\ \\ X=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}~~ou~~X=\dfrac{1}{2} \\ \\ 4X²+2(\sqrt{2}-1)X-\sqrt{2}=4(X-\dfrac{1}{2})(X+\dfrac{\sqrt{2}}{2}) \\ \\ ~Donc~ 4\sin²(x)+2(\sqrt{2}-1)\sin x-\sqrt{2}=4(\sin x-\dfrac{1}{2})(\sin x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}) \\

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 25-04-20 à 15:55

C'est bon.

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 25-04-20 à 16:20

\left(4\sin x +2\sqrt{2}\right)\left(\sin x -\dfrac{1}{2}\right)\leq0 \\ \\ \iff \left\lbrace\begin{array} l 4\sin x+2\sqrt{2}\leq0 \\ \sin x-\dfrac{1}{2}\geq0 \end{array}~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l 4\sin x +2\sqrt{2}\geq0 \\ \sin x-\dfrac{1}{2}\leq0 \end{array}

\left\lbrace\begin {array} l \sin x\leq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x\geq \dfrac{1}{2}\end{array}~(impossible)~~ou~~\left\lbrace\begin{array} l \sin x\geq -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin x\leq \dfrac{1}{2} \end{array}

\iff x\in \left[-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{6}\right]U\left[\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{5\pi}{4}\right] \\ \\ S=\left[0~;~\dfrac{\pi}{6}\right]U\left[\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{5\pi}{4}\right]U\left[\dfrac{7\pi}{4}~;~2\pi\right[

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 25-04-20 à 16:24

C'est parfait.

Posté par
Samscore : Inéquations trigos 25-04-20 à 17:48

Ok merci pour tout

Posté par
Priamre : Inéquations trigos 25-04-20 à 18:30


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