Niveau Maths sup

Injection : Démonstration bancale ?

Posté par
gui_tou 25-11-07 à 13:18

Bonjour

Un exo classique :

Citation :
$\large \rm E$ est un ensemble non vide. Soit $\large \rm f\in \mathcal{A}(E,E)$ (ensemble des applications de $\large \rm E$ dans $\large \rm E$ )

Montrer que $\large \rm f$ est injective $\LARGE \rm \Leftrightarrow \[\forall A\in\scr{P}_{(E)}, \forall(g,h)\in\mathcal{A}(A,E)\\fog=foh \Longrightarrow g=h\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\]$

Ma première étape me semble très fausse. Je raisonne sur des éléments et non sur des ensembles.

$\large \rm \fbox{1^{ere} etape :$ Montrons que f injective $\large \rm \Rightarrow (2)$

Hypothèse : f injective.

Soient $\large \rm f,g \in \mathcal{A}(A,E)$ telles que $\large \rm g(x)=h(x)=t$ avec $\large \rm x\in A, et bien sur t\in E$ .

Montrons que $\large \rm fog=gof \Rightarrow g=h$
$\large \rm fog=fog(x)=f(g(x))=f(t)$
$\large \rm foh=foh(x)=f(h(x))=f(t)$

Or $\large \rm f$ est injective : $\large \rm f injective \Rightarrow (2)\red$

----

$\large \rm \fbox{2^{e} etape :$ Montrons que (2) $\large \rm \Rightarrow f$ injective

Hypothèse : (2).
Je voulais dire à peu près la même chose que dans la première étape, ça me gêne.

Sion je pensais à :

Soit $\large \rm A=\{x\}$ .
$\large \rm g(A)=\{g(x)\}=y\\h(A)=\{h(x)\}=z$

Or g=h d'où y=z.

$\large \rm \|f(y)=f(z)\\y,z\in E$ donc $\large \rm \red (2) \Rightarrow f est injective$

Conclusion : $\large \rm \fbox{f injective \Leftrightarrow (2)\red$

Bref je suis un peu perdu

Merci de m'aider

Posté par re : Injection : Démonstration bancale ? 25-11-07 à 14:02

Posté par re : Injection : Démonstration bancale ? 25-11-07 à 14:21

Salut pour la première étape ça me parait ok,

juste que l'égalité $f\circ g = f\circ g(x)$ n'a pas de sens.

Pour la seconde étape:

Soient $x,x'\in E$ tels que $f(x)=f(x')$ .

On prend $g:a\in E\rightarrow x$ et $h:a\in E\rightarrow x'$ (ces deux applications sont dans $\mathcal{A}(E,E)$ ).

Pour tout $a\in E$ , on a $f\circ g(a) = f(x) = f(x') = f\circ h(a)$ .

Donc $f\circ g = f\circ h$ , en appliquant (2) avec $A=E$ , en déduit que $g=h$ , ie $x=x'$ , d'où l'injectivité de $f$ .

Posté par re : Injection : Démonstration bancale ? 25-11-07 à 14:34

Okédac merci Romu

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Injection : Démonstration bancale ?

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths