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Injection et intersection

Posté par
azarel 05-11-05 à 13:54

Bonjour à tous,
voilà je butte sur la question préliminaire de mon DM de maths (mpsi), j'ai réussi à faire le reste mais je n'arrive pas à établir cette démonstration donc si vous pouviez me donner un peu d'aide je vous en serai très reconnaissant:

soit u: UV une application injective, et (Ai)iI une famille quelconque de parties de U.
Démontrer u(Ai)=u(Ai)
(il faut rajouter des iI sous les symboles intersection)

En fait je ne sais pas non plus s'il serait judicieux d'utiliser les cardinaux sachant les problèmes que cela entraine avec l'infini.

Merci d'avance. A+, h

Posté par Guillaume (invité)re : Injection et intersection 05-11-05 à 14:12

pour demontrer l'egalite de deux ensembles on montre la double inclusion.
ici l'une est triviale l'autre vient de l'injection.

pas de cardinaux effectivement.

ps: pour demontrer que A est inclu dans B on prend x dans A et on montre qu'il est dans B.

A+

Posté par Guillaume (invité)re : Injection et intersection 05-11-05 à 15:01

soit y e u(inter(Ai)) il existe x dans inter(Ai) tel que y=u(x)
alors pour tout i dans I: x e Ai
donc pour tout i: u(x) e u(Ai) donc u(x)=y e inter(u(Ai))
donc u(interAi) inclue dans inter(u(Ai))

soit y e inter(u(Ai))
pour tout i , y appartient à u(Ai)
il existe xi dans Ai tel que u(xi)=y et comme u est injective les xi sont un seuls et meme x
(tu peux faire une petite demo par absurde si tu le juge necessiare)
alors pour tout i: x e Ai donc x e inter(Ai) donc y=u(x) e u(inter(ai))
donc inter(u(ai)) inclue dans u(inter(ai))

voila c'est fini la double inclusion donne l'egalite.

Posté par Guillaume (invité)re : Injection et intersection 05-11-05 à 15:01

En gros evidemment.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Injection et intersection 05-11-05 à 15:02

Bonjour azarel;
(*)3$\fbox{\forall j\in I\\(\Bigcap_{i\in I}A_i)\subset A_j} donc (vu que u est une application) 3$\fbox{\forall j\in I\\u(\Bigcap_{i\in I}A_i)\subset u(A_j)} et donc 3$\fbox{u(\Bigcap_{i\in I}A_i)\subset\Bigcap_{i\in I}u(A_i)}
(*)Réciproquement pour tout y\in V on peut écrire:
3$\fbox{y\in\Bigcap_{i\in I}u(A_i)\Longrightarrow(\forall i\in I)\hspace{5}y\in u(A_i)\Longrightarrow(\forall i\in I)(\exists x_i\in A_i)\hspace{5}y=u(x_i)}
et vu que u est injective les x_i ( qui sont des antécédents de y par u ) sont tous égaux à un certain x\in\Bigcap_{i\in I}A_i et on a donc en fait:
3$\fbox{y\in\Bigcap_{i\in I}u(A_i)\Longrightarrow(\exists x\in\Bigcap_{i\in I}A_i)\hspace{5}y=u(x)\Longrightarrow y\in u(\Bigcap_{i\in I}A_i)}

Conclusion:
4$\blue\fbox{u(\Bigcap_{i\in I}A_i)=\Bigcap_{i\in I}u(A_i)}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
azarelre : Injection et intersection 05-11-05 à 15:37

Bravo et merci à vous deux vous avez été super clairs.
Encore merci et a+, h


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