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Bonjour,
Comment résoudre cette question svp ?
1) Pour tout entier n ≥ 2, on pose :
Sn = 1/n(f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f((n-1)/n))
a) interpréter graphiquement Sn.
b) Prouver que :
1+e((iπ )/n)+ e((i2π )/n)+...+sin(((n-1)π )/n) = 2/(1-e((iπ )/n))
c) En déduire que:
sin(π/n)+ sin(2π/n)+...+ sin(((n-1)π )/n) = (cos(π/2n))/(sin(π/2n))
d) En déduire que : lim(Sn) = 2/π quand n tend vers +∞.
e) Quel théorème est mis en évidence pans ce problème ?
x
=
Pour comprendre ça tu devrais avoir dans ton bouquin un TP sur la méthode des rectangles.
C'est le noeud de tout le problème.
salut
comme le disait bonjour, c'est la methode des rectangles.
Sn represente une aire.
sur ton graphe, tu prends le rectangle ABCD avec A(0,0) B(0,f(0)) C(1/n,f(0)) D(1/n,0)
f(0)/n represente son aire.
puis le rectangle DEFG avec D(1/n,0) E(1/n,f(1/n)) F(2/n,f(1/n)) G(2/n,0) son aire est f(1/n)*(2/n-1/n))=f(1/n)/n
meme chose avec les autres.
par cette methode, on veut approximer l'integrale qu'a ecrit bonjour.
comme le disait flo64, il n'y a pas une erreur en 1b)
je dirais plutot :
V(n)=1+e^(i*Pi/n) + ...+e^(i*Pi*(n-1)/n)=*2/(1-e^(i*Pi/n))
ON FIXE n dans N.
1+e^(i*Pi/n) + ...+e^(i*Pi*(n-1)/n) est la somme des n premiers termes de la suite geometrique de la suite (U(k)) definie par :
U(0)=1
U(k+1)=e^(i*Pi/n) * U(k)
la raison est e^(i*PI/n). qui est independant de k puisque j'ai fixe n.
la raison est differente de 1 donc :
V(n)=[1-e^(i*n*Pi/n)]/[1-e^(i*Pi/n)]=[1-e^(i*Pi)]/[1-e^(i*Pi/n)]=2/[1-e^(i*Pi/n)]
en prenant la partie imaginaire de V(n)
on a sin(Pi/n)+...+sin((n-1)*Pi/n)=Im [2/[1-e^(i*Pi/n)]]
en mettant e^(i*Pi/(2n)) en facteur au denominateur on arrive a :
1-e^(iPI/n)=e^(i*Pi/2n)*[e^(-i*Pi/2n)-e^(i*Pi/2n)]
on utilise la formule d'Euler :
sin(a)=(e^[i*a]-e^[-i*a])/2i
donc 2/[1-e^(i*Pi/n)]=-e^(iPI/2n)/[i*sin(Pi/2n)]=i*e^(iPi/2n)/sin(Pi/2n)=[-sin(Pi/2n)+i*cos(Pi/2n)]/sin(Pi/2n)]
on prend la partie imaginaire et on a
Im [2/[1-e^(i*Pi/n)]]=cos(PI/2n)/sin(Pi/2n)
d'ou le resultat.
d'apres ce qui a ete vu S(n)=(1/n)*[(cos(π/2n))/(sin(π/2n))]
S(n)=(1/n) * 2/Pi * (Pi/2) * cos(Pi/2n) / sin(Pi/2n)
S(n) = cos(Pi/2n)*(2/Pi) * (PI/2n) / sin(Pi/2n)
or tu sais que lim sin(x)/x =1
quand x->0
donc lim sin(Pi/2n)/(PI/2n) = 1
n->+oo
et comme lim cos(Pi/2n)=1
n->+oo
on a lim S(n)=2/pi
n->+oo
pour la e). si on calcule l'integrale de bonjour, on retombe sur le meme resultat.
je te laisse conclure...
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