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intégrales
bonjour je suis en terminale S..J'ai cet exercice à faire mais je suis bloqué.J'aurais besoin de votre aide.
Merci par avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter..
voici l'exercice:
On considère la suite des intégrales
In= 
de 0 à 1 [enx/(ex+1)]
1a) Calculer I1 et I0; en déduire I0
b)Pour tout entier naturel n, calculer In+1+In.
2a) Montrer que la suite (In) est croissante.
b) Prouver que,pour tout élément x de [0,1]
enx/(e+1)
enx/(ex+1)enx/2
En déduire un encadrement de In.
3)A partir de cet encadrement , déterminer la limite de In et celle de In/en
Donc voilà jusqu'a la question 2b) j'y suis arrivé j'ai enx/(e+1)Inenx/2
mais à partir de la je n'y arrive plus.. pouvez vous m'aider
merci par avance
bonjour
1a)
I1=Int(0à1)(e^x/(e^x+1))dx
tu pose 1+e^x=u(x) donc u'(x)=e^x
I1=Int(0à1)(u'(x)/u(x))dx
=[Ln(1+e^x)]0à1
=Ln(1+e)-Ln2
=Ln((1+e)/2)
si tu remraque que
e^x/(1+e^x)= (e^x+1-1)/(1+e^x)
=1-1/(1+e^x)
donc I1=[x]0à1-I0
=1-I0
donc I0=1-I1
tu en déduis I0 à partir de I1
1b)
I(n+1)+In=Int(0à1)(e^(n+1)x + e^nx)/(e^x+1))dx
=Int(0à1)(e^nx(e^x + 1))/(e^x+1))dx
=Int(0à1)(e^nx)dx
=1/n[e^nx]0à1
=1/(e^n-1)
2a) tu pour x élément de [0,1] : (n+1)x >= nx
donc e^(n+1)x >= e^nx ; car le fonction exponentielle est croissante
donc e^(n+1)x/(1+e^x) >= e^nx/(1+e^x) car 1+e^x est positif
donc
Int(0à1)( e^(n+1)x/(1+e^x))dx >= Int(0à1)(e^nx/(1+e^x))dx
donc I(n+1)>=In
La suite In est croissante
b) pour x élément de [0,1] tu as
0<=x<=1 donc e^0<=e^x<=e^1 car exp est croissante
donc 1<=e^x<=e
donc 2<=1+e^x<=1+e ; en ajoutant 1 à chaque membre
donc 1/(1+e)<=1/(1+e^x)<=1/2 ; car la fonction inverse est décroissante
donc e^nx/(1+e)<=e^nx/(1+e^x)<=e^nx/2
donc
1/(e+1)Int(0à1)(e^nx)dx <=In<=(1/2)Int(0à1)(e^nx)dx
Int(0à1)(e^nx)dx=1/n[e^nx]0à1=(e^n-1)/n
(e^n-1)/n(e+1)<=In<=(e^n-1)/2n
Lim(e^n-1)/n=+oo donc limIn=+oo In est divergente
(e^n-1)/n(e+1)e^n<=In/e^n<=(e^n-1)/2ne^n
lim(e^n-1)/e^n=1 et lim1/n=0 donc LimIn/e^n=0
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