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Integrales

Posté par
Togen
09-05-21 à 20:16

Bonjour, j'ai des exercice déjà corrigés que je voudrai comprendre sur les intégrales s'il vous plaît… je ne recopie pas tout l'énoncé donc peut être qu'il y a des choses dont vous aurez besoin en plus…

Voici le premier exercice :
On note fn la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0;1] par fn(x)=1/(1+x^n)
Pour tout entier n=>1, on définit le nombre In (i majuscule et non un L) par
In= S10 fn(x) dx = S10 1/(1+x^n) dx
Les S représentent le signe de l'intégrale…

Voici la question : Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0;1] et pour tout entier naturel n=>1, on a 1-x^n<=1/(1+x^n)

Je ne sais pas si ça sert mais aux questions précédentes on a calculé la valeur exacte de I1, démontré que 1/(1+x^n)<=1 et que In<=1

Voici la réponse qui m'a l'air fausse ou que je ne comprend pas (je ne me souviens pas si c'est moi qui l'est fait ou si c'est la correction du professeur recopié) :

1-x^n <= 1/(1+x^n)
(1-x^n)(1+x^n) <= 1
1-(x^n)^2 <= 1
1-x^(2n) <+1
-x^(2n) <= 0
Or x^(2n) => 0 donc -x^(2n)<=0 donc 1-x^n <= 1/(1+x^n)

Je ne comprend pas en quoi faire ça permet de démontrer la question

Ensuite il y a cette autre réponse à une question d'un autre exercice que je ne comprend pas :
La suite un=S10 (e^(-nx))/(1+e^-x) dx

On a démontré que un+1+un=(1-e^-n)/n

Ensuite la question que je ne comprend pas : En déduire que pour tout entier naturel n non nul, un<= (1-e^-n)/n
Ce qui a été fait :
Un+1+Un=(1-e^-n)/n
Un= (1-e^-n)/n - un+1
0<=Un<= (1-e^-n)/n

Je ne comprend pas non plus en quoi ça répond à la question, la démarche ne me semble pas correcte

Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Integrales 09-05-21 à 20:49

salut

elle est fausse simplement parce que pour démontrer une propriété on ne part pas de cette propriété ... (réflexion métamathématique) :

par contre rédigée ainsi elle de vient exact :

x^2 \ge 0 \Longrightarrow x^{2n} \ge 0 \Longrightarrow - x^{2n} \le 0 \Longrightarrow 1 - x^{2n} \le 1 \Longrightarrow (1 - x^n)(1 + x^n) \le 1 \Longrightarrow 1 - x^n \le \dfrac 1 {1 + x^n}

la première proposition est une vérité : le carré d'un réel est positif

ensuite on effectue les opérations :

élévation à la puissance n : conserve l'ordre (sur [0, +oo[
prendre l'opposé (ou encore multiplier les deux membres par -1) : change l'ordre
ajout de 1 : conserve l'ordre
factoriser un membre (transformation d'une expression)
multiplication par un même nombre positif : conserve l'ordre

n'ayant pas l'énoncé complet on en peut conclure quant à la suite de l'exercice ... mais très certainement permet de minorer In

pour ce qui est de l'autre question :

Citation :
On a démontré que un+1+un=(1-e^-n)/n
se comprend comme 2un + 1 ...

Posté par
carpediem
re : Integrales 09-05-21 à 20:50

propriété élémentaire :

si 0 < a et 0 < b et a + b < c alors trivialement a < c (de même que b < c) ...

Posté par
NoPseudoDispo
re : Integrales 09-05-21 à 20:54

Tu as l'air d'avoir des problèmes avec ces inégalités. On fait tout comme les égalités, c'est tout. Il faut juste faire attention quand on compose par une fonction (déjà qu'on ai le droit de le faire), et si elle conserve l'ordre ou pas (conserver l'ordre ça veut dire les "<" ne deviennent pas des ">"). Pareil pour la multiplication.

En plus, on peut "faire apparaître des termes", car si b majore a, alors tout ce qui majore b majore a : (a<b et b<c) implique a<c. Pareil pour minorer. Souvent on connait le signe, et on majore ou minore par 0 (auquel cas c'est plutôt une "disparition de termes".

La 1er, il y a des équivalences entre chaque ligne. Le sens qui nous intéresse est celui du bas vers le haut (bizarre de l'écrire comme ça).

Dans le 2ème, u_n+1 >= 0... A toi de me dire comment il a fait

Parfois faut prendre du recule aussi : "je soustrais à un réel un nombre positif"...

Posté par
Togen
re : Integrales 09-05-21 à 21:11

D'accord merci, j'ai compris la première question…
Pour la deuxième, je n'ai toujours pas compris, dire que un=(1-e^-n)/n - un+1 ne nous aides pas à savoir que un<= (1-e^-n)/n  ?

Posté par
NoPseudoDispo
re : Integrales 09-05-21 à 21:27

u_{n}\leq \frac{1-e^{-n}}{n} - u_{n+1}

Or, u_{n+1}\geq  0 \Rightarrow -u_{n+1} \leq 0

On pose a=(1-e^(-n))/n.

-u_{n+1} \leq 0 \Rightarrow a - u_{n+1} \leq a (j'ai rajouté a)
On a donc majoré a - u_n+1 (en majorant -u_n+1). Comme dit tout à l'heure, si a- u_n+1 majore u_n, alors tout majorant de a-u_n+1 majore u_n. Je viens de montrer que a majorait a-u_n+1, donc il majore aussi u_n.

Tu n'as pas besoin de détaillé tout ça : si tu soustrais à un réel un nombre positif, alors le résultat est plus petit que le réel lui même.

Ce genre de raisonnement découle toujours de l'inégalité de base : (a<b et b<c) implique a<c. Avec l'habitude, tu pourras utiliser des inégalités plus évoluées comme celle de carpediem, mais elles découlent toutes de celle ci. C'est la propriété de transitivité.

Posté par
Togen
re : Integrales 09-05-21 à 21:28

D'accord merci beaucoup j'ai compris !

Posté par
carpediem
re : Integrales 09-05-21 à 21:34

que c'est compliqué !!!

et si tu réfléchissais un peu :

carpediem @ 09-05-2021 à 20:50

propriété élémentaire (niveau collège)  :

si 0 < a et 0 < b et a + b < c alors trivialement a < c (de même que b < c) ...

Posté par
Togen
re : Integrales 09-05-21 à 21:47

Oui effectivement, merci !

Posté par
carpediem
re : Integrales 09-05-21 à 21:53

de rien



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