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interpolation affine

Posté par wedge (invité) 12-06-05 à 14:29

C'est un exo type que je sais pas faire si on peut m'expliquer

On donne une application affine f : R2R3 vérifiant
f(1,1) = (1,2,3) ; f(2,2) = (4,5,6) ; f(3,-3) = (7,8,9).
Calculez f(-7,5).

Posté par danskala (invité)re : interpolation affine 12-06-05 à 18:00

Salut,

appelons A, B, C, et D les points de coordonnées
A(1,1) B(2,2) C(3,-3) et D(-7,5)

et A', B', C', et D' les points de coordonnées
A'(1,2,3) B'(4,5,6) C'(7,8,9) et D'(x,y,z)

On a f(A)=A'
f(B)=B'
f(C)=C'

f est affine donc il existe une fonction F linéaire f:R²R^3 telle que \vec{f(M)f(N)}=F(\vec{MN})

On a \vec{AD}=-4\vec{AB}-2\vec{AC}    ((\vec{AB},\vec{AC}) est une base de R²}

donc
\vec{A'D'}
=\vec{f(A)f(D)}
=F(\vec{AD})
=F(-4\vec{AB}-2\vec{AC})
=-4F(\vec{AB})-2F(\vec{AC}) car F est linéaire
=-4\vec{f(A)f(B)}-2\vec{f(A)f(C)}
=-4\vec{A'B'}-2\vec{A'C'}

Le vecteur  -4\vec{A'B'}-2\vec{A'C'}  a pour coordonnées (-24;-24;-24)

Comme (x,y,z) sont les coordonnées de D', on obtient le système:
x-1=-24
y-2=-24
z-3=-24

Soit D'(-23,-22,-21)

Donc f(-7,5)=(-23,-22,-21)

bye.

Posté par danskala (invité)re : interpolation affine 12-06-05 à 18:02

J'ai oublié de préciser que la relation \vec{f(M)f(N)}=F(\vec{MN})   est vraie pour tout points M et N de R²

Posté par wedge (invité)re : interpolation affine 12-06-05 à 21:07

ok ! j'ai compris!
c'est facile en fait!

merci beaucoup!



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