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Interpolation cercle 2 point et rayon
Bonjour,
Je doit réalisé sous excel une petite formule qui doit tracer un cercle passant par 2 point en connaissant son rayon.
Je connais deux point A et B de coordonnées A/ x1 y1 et B/ x2 y2
Avec le rayon R
sachant que pour un cercle
(x-a)²+(y+b)²=R
Je n'arrive pas à trouver les équations de la forme
a=f(x1,x2,y1,y2)
b=f(x1,x2,y1,y2)
De cette manière je détermine a et b et voilà.
Car là je bloque j'arrive toujours à une fonction dépendente de style:
a=f(x1,x2,y1,y2,a)
merci
bonjour
tu peux procéder autrement
le centre W(a,b) du cercle se trouve sur la médiatrice (D) de AB
tu peux exprimer D en fonction de xA,yA,xB et yB : (D) y=mx+p
W est tel que AW²=R²
tu as ainsi une eq liant (a-xA)²+(b-yA)²=R² et b=ma+p
tu peux ainsi exprimer a en fonction de m,p,xA et xA
puis b ensuite
Attention, tu devrais trouver 2 points W normalement
Philoux
Si tu veux trouver une formule en calcul littéral, c'est assez long, mais une fois fait c'est facile par Excel.
Pour établir cette formule, on peut partir ainsi:
Cercle de centre A et de rayon R:
(x-x1)²+(y-y1)² = R²
Cercle de centre B et de rayon R:
(x-x2)²+(y-y2)² = R²
On résout le système:
(x-x1)²+(y-y1)² = R²
(x-x2)²+(y-y2)² = R²
On obtient 0, 1 ou 2 couples (X;Y) qui correspondent à (a,b)
(x-x1)² = R²-(y-y1)²
x = x1 +/- V(R²-(y-y1)²)
pareillement:
x = x2 +/- V(R²-(y-y2)²)
--> x1 +/- V(R²-(y-y1)²) = x2 +/- V(R²-(y-y2)²)
x1-x2 = +/- V(R²-(y-y2)²) +/- V(R²-(y-y1)²)
(x1-x2)² = R²-(y-y2)² + R²-(y-y1)² +/- 2V[(R²-(y-y2)²)(R²-(y-y1)²)]
+/-2V[(R²-(y-y2)²)(R²-(y-y1)²)] = (x1-x2)² - R²-(y-y2)² - R²-(y-y1)²
4.[(R²-(y-y2)²)(R²-(y-y1)²)] = [(x1-x2)² - R²-(y-y2)² - R²-(y-y1)²]²
4.[R^4-R².(y-y1)²-R²(y-y2)²+(y-y1)².(y-y2)²] = (x1-x2)^4 + R^4 + (y-y2)^4 + R^4 + (y-y1)^4 -2R²(x1-x2)²-2(x1-x2)²(y-y2)²-2R²(x1-x2)²-2(x1-x2)²(y-y1)² +2R²(y-y2)²+2R^4+2R²(y-y1)² + 2R²(y-y2)²+2(y-y2)²(y-y1)²+2R²(y-y1)²
-8R².(y-y1)² -8R²(y-y2)² +2(y-y1)².(y-y2)² = (x1-x2)^4 + (y-y2)^4 + (y-y1)^4 -4R²(x1-x2)²-2(x1-x2)²(y-y2)²-2(x1-x2)²(y-y1)²
Il faut développer et simplifier, il est évident que les termes en y^4 et probablement ceux en y³ aussi vont disparaître.
Il reste alors une équation du second degré en y qui donnent les ordonnées (si elles existent) des centres possibles pour le cercle cherché. (formule via discriminant)
On trouve ensuite aisément des abscisses de ces centres par exemple en remplaçant les y trouvés dans l'équation (x-x1)²+(y-y1)² = R²
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Si tu prends cette voie, avant de continuer les calculs où je les ai laissé, tu as intérêt à vérifier ce que j'ai écrit car je n'ai rien relu.
As usual.
Une autre voie:
On fait une translation d'axes pour amener A à l'origine du repère.
On fait une rotation d'axe autour de A pour amener B sur l'axe des abscisses.
Dans ce dernier repère, les coordonnées possibles du centre du cercle cherché sont (|AB|/2 ; +/- V(R² - |AB/2|²)
(et donc 0, 1 ou 2 possibilités).
On fait sur ces coordonnées les changements de repère inverses de ceux faits au début et c'est fini.
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Bonjour,
Selon la méthode proposée hier à 12:41
et dédié à excel
J'ai appelé les cellules par leurs valeurs littérales, c'est-à-dire que :
-l'abscisse de A, xA, est en cellule C2 : cette cellule porte le nom xA (indiqué en B2)
-l'ordonnée de A, yA, est en cellule E2 : cette cellule porte le nom yA (indiqué en D2)
...
- le rayon R est en cellule C5 : cette cellule porte le nom R (indiqué en B5)
le contenu des cellules calculées est en italique, sous celles-ci.
En modifiant les données de couleur verte (A, B et R), tu modifies les résultats de couleur rouge (W1 et W2) ainsi que le graphe associé.
Si nécessaire, je peux te faire parvenir le fichier excel par mail.
Philoux
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