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Interpolation polynomiale

Posté par
Rouliane 09-10-07 à 22:30

Bonjour,

On a (U_j)_j un vecteur donné, et je dois déterminer le polynome de degré inférieur ou égal à 2 qui vérifie

3$ p(x_{j-1})=U_{j-1}
3$ p(x_{j})=U_{j}
3$ p(x_{j+1})=U_{j+1}

Vu que le polynome s'écrit sous la forme 3$ p(x)=ax^2+bx+c, il faut résoudre le système :

4$ \rm \{ a(x_{j-1})^2+b(x_{j-1})+c=U_{j-1}\\a(x_{j})^2+b(x_{j})+c=U_{j}\\a(x_{j})^2+b(x_{j})+c=U_{j+1}

Seulement, c'est une vraie galère à résoudre ce système : est ce qu'il y a pas un moyen plus facile ?
Ou est ce que c'est un polynome d'interpolation dont on connait déjà la forme générale finale ( genre il existe un théorème qui nous dit que p va s'écrire etc...) ?

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:35

Bonsoir Rouliane

Citation :
Ou est ce que c'est un polynome d'interpolation dont on connait déjà la forme générale finale ( genre il existe un théorème qui nous dit que p va s'écrire etc...) ?

oui.
utilise les polynômes d'interpolation de Lagrange.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:36

Bien sûr, tu ne vas pas l'avoir sous une autre forme que \Large{ax^2+bx+c}.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:37

Salut kaiser,

Merci.
En fait je sais jamais quand on peut utiliser les polynomes de Lagrange. je vais voir ça

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:43

Citation :
En fait je sais jamais quand on peut utiliser les polynomes de Lagrange.


eh bien, à chaque fois qu'on se trouve dans cette situation : on a n+1 points distincts \Large{x_i} , n+1 valeurs \Large{y_i} et on cherche l'unique polynôme P de degré n tel que pour tout i, \Large{P(x_i)=y_i} (ici, on a n=2).

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:44

Citation :
n+1 valeurs \Large{y_i}


pas forcément distinctes, bien sûr.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:46

on continue dans les étourderies !

Citation :
on cherche l'unique polynôme P de degré n


je voulais dire :

de degré inférieur ou égal à n

Kaiser

Posté par
Roulianere : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 22:53



ok, merci.

Donc ici on a 4$ p(x)=\Bigsum_{k=j-1}^{j+1}U_k l_k(x)

où 4$ l_k(x)=\Bigprod_{i=j-1, i\neq k}^{j+1}\frac{x-x_i}{x_k-x_i}.

C'est bien ça ?

C'est un peu b*rd*lique comme écriture, mais j'ai pas trop le choix.

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 23:08

C'est bien ça.

Kaiser

Posté par
Roulianere : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 23:10

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Interpolation polynomiale 09-10-07 à 23:10


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