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Interprétation géométrique

Posté par
Jaina 06-05-06 à 16:00

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre cette question, pourriez vous m'aider ?

- Il faut trouver le minimum de |1-zt| par interprétation géométrique. Avec z un nombre complexe, t un réel compris entre 0 et 1.

Je pense que le minimum de |1-zt| correspond géométriquement à la distance entre le segment [OM] et le point (1,0)
( avec 0(0,0) et M(z) ).
Mais je ne voit pas comment calculer ce minimum...

Merci.

Posté par
kaiser Moderateurre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 16:08

Bonjour Jaina

Ce n'est pas nécessairement ça le minimum. En effet, si z est un réel strictement négatif,alors le minimum est atteint pour t=0, et ce minimum est alors strcitement inférieur à la distance OM.

Kaiser

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 16:12

Merci pour cette réponse rapide !

Je dois donc distinguer ce cas des autres ? Comment résoudre les autres cas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 16:44

On peut distinguer deux cas selon le signe de la partie réelle de z.
Si celle-ci est négative, on voit assez facilement que le minimum est atteint en t=0.
Lorsqu'elle est strictement positive deux cas à sont envisager.
En effet, remarque que dans un des deux cas (à déterminer), le minimum est la distance du point d'affixe à une certaine droite et que dans l'autre, ce minimum n'est d'autre que la distance OM.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Interprétation géométrique. 06-05-06 à 17:04

Bonjour;
(*)Si z=0 ce minimium est clairement 1.
(*)Sinon posons z=x+iy et notons f(t)=|1-tz|^2=t^2|z|^2-2xt+1 c'est un trinome en t son minimum est atteint pour t_0=\frac{x}{|z|^2}\in[0,1] d'où la discution suivante:
-Si \fbox{x\le0} on a \fbox{t_0\le0} le minimum sur [0,1] est atteint pour t=0 ce qui donne dans ce cas 3$\fbox{\inf_{t\in[0,1]}|1-zt|=1}.
-Si \fbox{x\ge|z|^2} (ce qui se traduit géométriquement par le fait que M(z) se trouve dans la partie intérieure au cecle \scr C(\frac{1}{2},\frac{1}{2})) on a \fbox{t_0\ge1} et le minimum sur [0,1] est atteint pour t=1 ce qui donne dans ce cas 3$\fbox{\inf_{t\in[0,1]}|1-zt|=|1-z|}.
-Si \fbox{0\le x\le|z|^2} (c'est à dire si M(z) se trouve dans la partie du demi plan x\ge0 extérieure au cercle \scr C(\frac{1}{2},\frac{1}{2})) on a \fbox{t_0\in[0,1]} et on a 3$\fbox{\inf_{t\in[0,1]}|1-zt|=|1-t_0z|=sqrt{1-\frac{x^2}{|z|^2}}=\frac{|y|}{sqrt{x^2+y^2}}=\frac{|Im(z)|}{|z|}}

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 17:06

Ok pour le premier cas.

Pour Re(z) strictement positive :
. Si Im(z)=0 le minimum est la distance de M au point (1,0).
. Si |z| est plus grand que 1/2, le minimum est l'intersection du segment avec le cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1/2 ???
. Sinon le minimum est atteint en t= 1

Je ne trouve pas du tout les même conditions ...
Où mon raisonnement est il faux ?

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 17:09

Ah, je n'avait pas vu la réponse de elhor_abdelali.

Les conditions que j'ai trouvées sont justes alors ?

Merci beaucoup à tous les deux !!!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Interprétation géométrique. 06-05-06 à 17:17

De rien Jaina.
Une petite réctification: le trinome en t atteint son minimum sur \mathbb{R} pour t_0=\frac{x}{|z|^2} qui n'est pas nécéssairement dans [0,1] et c'est de là justement que provient la discution des trois cas ci dessus.

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 17:32

Une dernière petite question, comment fait on pour encadrer avec Latex ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 17:34

Utilise l'instruction \fbox{}.

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 17:52

Merci !

Par contre je ne comprend pas pourquoi x>|z|2 correspond au cas où M est à l'intérieur du cercle ...

Posté par
kaiser Moderateurre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 18:25

En fait, on a :

\Large{x\geq |z|^{2} \Longleftrightarrow x\geq x^{2}+y^{2} \Longleftrightarrow (x-\frac{1}{2})^{2}+y^{2}\leq \frac{1}{4}}

Si l'on note A le point d'affixe \Large{\frac{1}{2}}, cette dernière inégalité revient à dire que \Large{AM \leq \frac{1}{2}}

Posté par
Fractalre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 18:33

Bonjour à tous les trois.
L'énoncé ne demande-t-il pas une interprétation géométrique du minimum de |1-zt|

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 06-05-06 à 18:45

Merci beaucoup !! Cette fois je pense que c'est clair !

A Fractal : non, l'énoncé demande de déterminer le minimum de |1-zt| par une interprétation géométrique.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Interprétation géométrique 06-05-06 à 20:12

(*)On peut interpreter géommétriquement ce résultat comme suit:
-Si M(z) est dans le demi plan gris (x\le0) le point du segment [OM] le plus proche de A est O et par conséquent 2$\blue\fbox{\min_{0\le t\le1}|1-zt|=1}.
-Si M(z) est dans la partie rose du plan le point du segment [OM] le plus proche de A est M(z) et par conséquent 2$\blue\fbox{\min_{0\le t\le1}|1-zt|=|1-z|}.
-Si M(z) est dans la partie verte du plan le point du segment [OM] le plus proche de A est le point H (intersection de la droite (OM) et du cercle \scr C(\frac{1}{2},\frac{1}{2})) et par conséquent \fbox{\min_{0\le t\le1}|1-zt|=AH} et en remarquant que \fbox{sin(\alpha)=AH=\frac{MI}{OM}} il vient que 2$\blue\fbox{\min_{0\le t\le1}|1-zt|=\frac{|y|}{sqrt{x^2+y^2}}=\frac{|Im(z)|}{|z|}}.



Interprétation géométrique

Posté par
Jainare : Interprétation géométrique 07-05-06 à 11:28

Belle figure !!

Encore merci.


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