Bonjour,
Je n'arrive pas à résoudre cette question, pourriez vous m'aider ?
- Il faut trouver le minimum de par interprétation géométrique. Avec z un nombre complexe, t un réel compris entre 0 et 1.
Je pense que le minimum de correspond géométriquement à la distance entre le segment [OM] et le point (1,0)
( avec 0(0,0) et M(z) ).
Mais je ne voit pas comment calculer ce minimum...
Merci.
Bonjour Jaina
Ce n'est pas nécessairement ça le minimum. En effet, si z est un réel strictement négatif,alors le minimum est atteint pour t=0, et ce minimum est alors strcitement inférieur à la distance OM.
Kaiser
Merci pour cette réponse rapide !
Je dois donc distinguer ce cas des autres ? Comment résoudre les autres cas ?
On peut distinguer deux cas selon le signe de la partie réelle de z.
Si celle-ci est négative, on voit assez facilement que le minimum est atteint en t=0.
Lorsqu'elle est strictement positive deux cas à sont envisager.
En effet, remarque que dans un des deux cas (à déterminer), le minimum est la distance du point d'affixe à une certaine droite et que dans l'autre, ce minimum n'est d'autre que la distance OM.
Bonjour;
(*)Si ce minimium est clairement
.
(*)Sinon posons et notons
c'est un trinome en
son minimum est atteint pour
d'où la discution suivante:
-Si on a
le minimum sur
est atteint pour
ce qui donne dans ce cas
.
-Si (ce qui se traduit géométriquement par le fait que
se trouve dans la partie intérieure au cecle
) on a
et le minimum sur
est atteint pour
ce qui donne dans ce cas
.
-Si (c'est à dire si
se trouve dans la partie du demi plan
extérieure au cercle
) on a
et on a
Ok pour le premier cas.
Pour Re(z) strictement positive :
. Si Im(z)=0 le minimum est la distance de M au point (1,0).
. Si |z| est plus grand que 1/2, le minimum est l'intersection du segment avec le cercle de centre (1/2,0) et de rayon 1/2 ???
. Sinon le minimum est atteint en t= 1
Je ne trouve pas du tout les même conditions ...
Où mon raisonnement est il faux ?
Ah, je n'avait pas vu la réponse de elhor_abdelali.
Les conditions que j'ai trouvées sont justes alors ?
Merci beaucoup à tous les deux !!!
De rien Jaina.
Une petite réctification: le trinome en atteint son minimum sur
pour
qui n'est pas nécéssairement dans
et c'est de là justement que provient la discution des trois cas ci dessus.
Merci !
Par contre je ne comprend pas pourquoi x>|z|2 correspond au cas où M est à l'intérieur du cercle ...
Bonjour à tous les trois.
L'énoncé ne demande-t-il pas une interprétation géométrique du minimum de |1-zt|
Merci beaucoup !! Cette fois je pense que c'est clair !
A Fractal : non, l'énoncé demande de déterminer le minimum de |1-zt| par une interprétation géométrique.
(*)On peut interpreter géommétriquement ce résultat comme suit:
-Si est dans le demi plan gris (
) le point du segment
le plus proche de
est
et par conséquent
.
-Si est dans la partie rose du plan le point du segment
le plus proche de
est
et par conséquent
.
-Si est dans la partie verte du plan le point du segment
le plus proche de
est le point
(intersection de la droite
et du cercle
) et par conséquent
et en remarquant que
il vient que
.
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