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Intersection Cercle Cercle

Posté par Titifonky (invité) 11-03-05 à 12:02

Bonjour,

J'ai trouvé sur ce site un problème (et ses reponses) du 20/12/2004 sur la determination des intersections entre deux cercles.
Je m'intresse en ce moment à ce type de probleme pour faire des programmes.
J'ai remarqué dans la resolution de l'equation que quand la valeur des ordonnées des deux points de centre etaient égale, on avais une division par zéro, ce qui est impossible. Existe t'il une resolution d'equation qui n'amene pas à cette division par 0 quand les ordonnées des deux points de centre sont égale.

Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Intersection Cercle Cercle 11-03-05 à 13:05

Equation d'un cercle de centre (A ; B) et de rayon R et d'une cercle de centre (C ; B) et de rayon r.
(C'est bien cela qui te gêne je pense)

On a A différent de C (sinon les cercles seraient de même centre. Si c'était le cas, il y aurait 0 point de rencontre si R différent de r et l'entiérete des points des cercles si R = r).


(x-A)² + (y-B)² = R²
(x-C)² + (y-B)² = r²

-> On soustrait les 2 équations membres à membres.

(x-A)² - (x-C)² = R² - r²
x²-2Ax+A² - (x²-2Cx+C²) = R²-r²
x²-2Ax+A² -x²+2Cx-C² = R²-r²
-2Ax+A²+2Cx-C² = R²-r²
2x(C-A) = R²-r²-A²+C²
x = (R²-r²-A²+C²)/2(C-A)

Remis dans une équation d'un des cercles ->

((R²-r²-A²+C²)/2(C-A) - A)² + (y-B)² = R²

((R²-r²-A²+C²-2AC+2A²)/2(C-A))² + (y-B)² = R²

((R²-r²+A²+C²-2AC)/2(C-A))² + (y-B)² = R²

(y-B)² = R² - ((R²-r²+A²+C²-2AC)/2(C-A))²

y = B +/- V[R² - ((R²-r²+A²+C²-2AC)/2(C-A))²] (V pour racine carrée).

On a les points de rencontre de coordonnées:

(\ \frac{R^2-r^2-A^2+C^2}{2(C-A)}\ ;\ B - \sqrt{R^2-(\frac{R^2-r^2+A^2+C^2-2AC}{2(C-A)})^2}\ )
et
(\ \frac{R^2-r^2-A^2+C^2}{2(C-A)}\ ;\ B + \sqrt{R^2-(\frac{R^2-r^2+A^2+C^2-2AC}{2(C-A)})^2}\ )

On peut simplifier ces expressions.

Remarque:
Si   R^2-(\frac{R^2-r^2+A^2+C^2-2AC}{2(C-A)})^2 > 0, il y a 2 points de rencontre.
Si   R^2-(\frac{R^2-r^2+A^2+C^2-2AC}{2(C-A)})^2 = 0, il y a 1 point de rencontre. (les 2 cercles sont tangents).
Si   R^2-(\frac{R^2-r^2+A^2+C^2-2AC}{2(C-A)})^2 < 0, il y a 0 point de rencontre.
-----
Tu as intérêt à vérifier mes calculs.


Posté par Titifonky (invité)re : Intersection Cercle Cercle 11-03-05 à 13:31

          En fait je voulais savoir si il existe une solution commune. Par exemple, pour mon programme, je veux trouver l'intersection entre deux cercle quel que soit le point de centre. Si il n'y a pas d'autres solutions je vais mettre une condition avec deux alorithmes de calcul suivant les propriétes des points de centre mais ca rajoute du code.

Je te remercie pour ta reponse, elle va dans tout les cas m'aider pour la suite.

Posté par
Ksilver
re : Intersection Cercle Cercle 11-03-05 à 19:38

je me trompe peux etre mais il est tres peu probable qu'il existe une solution commune, pour la simple est bonnes raison que l'intersection de 2 equation de cercle donne des equation polynomial du 2e degre qui ont donc sois 0 solution (dans les reel) si les cercle ne sont pas sequent sois 2 solution si les cercle sont sequent sois une seul sollution si les cercles sont tangeant mais en aucun cas un ensemble de plus de 2 point comme c'est le cas quand les cercle sont de meme centre. si tu veux faire un programe il ni a pas d'autre sollution que d'avoir une instruction conditionel pour differencier les 2 cas.



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