a)

Equation d'un plan P // au plan xoz: y = k (avec k un réel)

Intersection de P avec la base inférieure du cylindre (qui se prouve dans le plan z = -3)
C'est la droite donnée par les équations: y = k ; z = -3
Cette droite coupera la base du cylindre si k <= V17  (V pour racine carrée)

Intersection de P avec la base supérieure du cylindre (qui se prouve dans le plan z = 5)
C'est la droite donnée par les équations: y = k ; z = 5
Cette droite coupera la base du cylindre si k <= V17  (V pour racine carrée)

Intersections entre P et la surface latérale du cylindre

x²+y² = 17
y = k

x² = 17 - k²
Si k <= 17, il y a des solutions qui sont:
x = +/- V(17-k²)

On a donc les 2 droites:
A)
x = - V(17-k²)
y = k

B)
x = V(17-k²)
y = k

P et le cylindre se coupent donc suivant 4 droites qui se coupent en 4 sommets.

Recherche des coordonnées de ces sommets:

1°)
x = - V(17-k²)
y = k
z = -3
--> S1(- V(17-k²) ; k ; -3)

2°)
x = - V(17-k²)
y = k
z = 5
--> S2(- V(17-k²) ; k ; 5)

3°)
x =  V(17-k²)
y = k
z = -3
--> S3( V(17-k²) ; k ; -3)

2°)
x = V(17-k²)
y = k
z = 5
--> S4(V(17-k²) ; k ; 5)
-----
vecteur(S1S2) = (0 ; 0 ;8)
vecteur(S3S4) = (0 ; 0 ;8)

S1S2 et S3S4 sont donc // et égaux.

vecteur(S1S3) = (2V(17-k²);0;0)

vecteur(S1S3).Vecteur(S1S2) = 2V(17-k²)*0 + 0 * 0 + 0 * 8 = 0

Le produit scalaire des vecteurs (S1S3) et (S1S2) est nul et donc S1S2 et S1S3 sont perpendiculaires.

Le quadrilatère intersection de P et du cylindre a ses cotés opposés égaus et // et de plus, il a des angles droits --> c'est un rectangle.
-----
b)
vecteur(S1S2) = (0 ; 0 ;8)
vecteur(S1S3) = (2V(17-k²);0;0)

|S1S2| = 8
|S1S3| = 2V(17-k²)

Périmètre = 20 = 2.(|S1S2| + |S1S3|)
|S1S2| + |S1S3| = 10
8 + 2V(17-k²) = 10

2V(17-k²) = 2

V(17-k²) = 1

17 - k² = 1
k² = 16

k = +/- 4 conviennent.

--> y = 4 est une équation du plan P qui convient.
---
Une autre possibilité pour P est : y = -4
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Sauf distraction.  Calculs à vérifier.  

Merci pour ta réponse, j'ai juste une petite question:

Lorsque tu dis:

"Recherche des coordonnées de ces sommets:

1°)
x = - V(17-k²)
y = k
z = -3
--> S1(- V(17-k²) ; k ; -3)"

Est ce que c'est plutot la représentation paramétrique d'une droite passant par (-V(17-k²);0;-3) dirigée par un vecteur de coordonnée (0,1,-3) ?? Je ne compreend donc pas comment tu trouve S1


Merci bcp

J'ai appelé S1 le point de rencontre de la droite (trouvée avant) donnée par les équations:
x = - V(17-k²)
y = k
et du plan (trouvé avant) donné par l'équation: z = -3

Les coordonnées de S1 se trouvent donc en résolvant le système formé des 2 équations de la droite et de l'équation du plan:
x = - V(17-k²)
y = k
z = -3

Et ceci est évidemment immédiat, les coordonnées de S1 sont S1(- V(17-k²) ; k ; -3).

Ce sont les coordonnées cartésiennes du point S1.
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Ok je te remercie J-P. k n'est donc pas un paramètre.

k est un réel qu'il faut déterminer pour que le périmètre du rectangle soit 20.

Dans le début de ma première réponse, petite correction:
Remplacer "Cette droite coupera la base du cylindre si k <= V17 (V pour racine carrée)"
par
"Cette droite coupera la base du cylindre si |k| <= V17 (V pour racine carrée)"