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Intersection d un plan et d une sphère

Posté par Kevin75 (invité) 04-05-05 à 15:43

Bonjour,

Je dois démontrer que l'intersection de la sphère d'equation x²+y²+z²-3x = 0 et du plan d'equation x+y+z-1=0 est un cercle dont je dois caluler les coordonnées du centre et le rayon.

D'habitude je resoud un systeme de 2 equations mais celui-ci, je n'arrive pas à la resoudre.

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par aicko (invité)indication 05-05-05 à 16:16

on cherche l'ensemble des triplets (x,y,z) de R^3 verifiant simultanément ces deux equations :

x²+y²+z²-3x = 0  (E1)
x+y+z-1=0        (E2)

d'apres (E2)
z=1-x-y

en injectant dans (E1) on obtient

x²+y²+z²-3x =x+y+z-1
x2-4x+y2-y+z2-z=-1
(x-2)^2-4+(y-0.5)^2-0.25+(z-0.5)^2-0.25= -1
(x-2)^2+(y-0.5)^2+(z-0.5)^2=4.5-1
(x-2)^2+(y-0.5)^2+(z-0.5)^2=3.5

les egalités précédentes étant toutes equivalentes
on a bien montré que l'intersection est le cercle de centre (2;0.5;0.5) et de rayon racine(3.5)

sauf erreur de ma part.....

Posté par
isisstruiss
re : Intersection d un plan et d une sphère 05-05-05 à 17:29

Euh... Le problème c'est que les points pour lesquels cette équation est vérifiée sont sur une sphère... Et puis si on avait eu au début

x²+y²+z²-3x = 9 (E1)
x+y+z-1=9 (E2)

L'équation finale serait encore la même...

Moi je prétens que le centre du cercle sera (\frac{5}{3};\frac{1}{6};\frac{1}{6}) et que le rayon sera de \sqrt{\frac{13}{6}}.

Voici comment je justifie ce que j'avance:

L'équation de la droite perpendiculaire au plan et passant par le centre de la sphère:
\(\array{x\\y\\z\\}\)=\(\array{3/2\\0\\0\\}\)+k\(\array{1\\1\\1\\}\)\hspace{50} k\in\mathbb{R}

Intersection de cette droite avec le plan
3k+\frac{3}{2}=1\Rightarrow k=\frac{1}{6}\Rightarrow \(\array{x\\y\\z\\}\)=\(\array{10/6\\1/6\\1/6\\}\)

La distance entre le rayon de la sphère et le plan est \frac{1}{2\sqrt{3}}. Le rayon de la sphère est \frac{3}{2}. Par Pythagore le rayon du cercle sera \sqrt{\frac{13}{6}}

Isis

Posté par
isisstruiss
re : Intersection d un plan et d une sphère 05-05-05 à 17:33

Ouf, j'aurais mieux fait de vérifier mes calculs...

Lors que je calcule l'intersection de la droite et le plan j'aurais dû trouver k=-1/6. Donc le centre du cercle sera (4/3-1/6;-1/6).

Le calcul du rayon est correct.

Isis

Posté par Kevin75 (invité)re : Intersection d un plan et d une sphère 05-05-05 à 17:48

Salut Aicko et Isisstruiss !

Merci pour vos reponses !

Isisstruiss ,ta methode consiste à projeter sur centre de la sphère sur le plan, c'est vrai que je n'avais pas pensé à ça!
Peut etre parcque la question commence par "démontrer que l'intersection de la sphère est un cercle" alors je pensais qu'il fallait opter pour la résolution du système.

Mais cela s'avère impossible.
Pourtant, la méthode de Aicko semblait marcher, comment cela se fait t'il qu'on obtient l'equation d'une sphère et non d'un cercle?
Est-ce que c'est parcque il est injuste de noter que si

x²+y²+z²-3x = 0  
et
x+y+z-1=0        
Alors
x²+y²+z²-3x =x+y+z-1 ?
D'ailleurs, dans un cas general, est ce que c'est juste?

Pour ce qui est des calculs de la première methode, je les aient  refaient et je trouve pareil que vous.

Merci à tous les deux pour votre aide !

Kevin



Posté par
isisstruiss
re : Intersection d un plan et d une sphère 06-05-05 à 11:33

Le problème de la méthode de aicko, c'est qu'on a bien

\{\array{x^2+y^2+z^2-3x=0\\x+y+z-1=0}\.\qquad\Longrightarrow\qquad x^2+y^2+z^2-3x=x+y+z-1


Mais on n'a pas

x^2+y^2+z^2-3x=x+y+z-1\qquad\Longrightarrow\qquad\{\array{x^2+y^2+z^2-3x=0\\x+y+z-1=0}\.

En fait les points qui sont sur la sphère de l'ennoncé et sur le plan de l'énnoncé, sont aussi sur la sphère de aicko, mais tous les points des la sphère de aicko ne sont pas dans le plan. Tu peux aussi calculer l'intersection du plan avec la sphère de aicko, mais je ne pense pas que tu seras plus avancé...

Isis



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