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Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z²

Posté par
aspic1 09-10-07 à 21:56

Salut, tout est dans le titre, j'ai un DM assez long sur l'intersection de plans avec un ensemmble (E) x² + y² = 2z²

Je crois que c'est une equation de cylindre mais je ne suis pas sur...

- Que peux t-on dire de la nature de l'intersection de E avec P d'équation z = kx ?

Alors, on a x² + y² = 2k²x²
            1 + (y/x)² = 2k²
            (y/x) = 2k² - 1
            y = Sqrt(2k² - 1)x

Donc une droite d'équation y = ax avec un coefficient directeur bizarre... je pense que mon raisonnement est erroné non ?

Merci

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 22:17

Bonsoir aspic
Ce n'est pas bon je pense

Citation :
  1 + (y/x)² = 2k²
            (y/x) = 2k² - 1
            y = Sqrt(2k² - 1)x

Mieux serait x2(1-2k2)+y2=0
Et ensuite discussion selon k
Dans tous les cas c'est une conique.

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 22:24

Salut, je n'ai pas encore vu les coniques... ni en terminale...

Que ce passe t-il en fonction des valeurs de k ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 22:34

Bonjour à tous

Citation :
Dans tous les cas c'est une conique.


pas exactement !

Enfin, on peut toujours dire c'est une conique dégénérée : en effet, cette équation nous indique que c'est soit un point,soit une droite, soit la réunion de deux droites, selon le signe de \Large{1-2k^2}.

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z². 09-10-07 à 22:46

Bonsoir ,
il me semble que l'ensemble (E) est un cône de révolution de sommet O obtenu par rotation autour de l'axe (Oz)
de la droite \fbox{(D){:}\{{y=0\\z=\frac{\sqrt2}{2}x}
Pour étudier l'intersection de (E) et du plan \fbox{(P){:}z=kx} il faut donc distiguer les deux cas :
\fbox{1} \red\fbox{|k|<\frac{sqrt2}{2}}
\fbox{2} \red\fbox{|k|\ge\frac{sqrt2}{2}} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 23:03

Bonsoir Elhor et Kaiser
C'est ce qu'il m'avait semblé aussi mais sans certitude.

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 23:24

Salut,

Je ne sais pas comment tu as trouvé la droite z = [Sqrt(2)/2]x ... mais je ne peux pas l'utiliser car c'est la prochaine question !

(question d'avant)- Que peux t-on dire de la nature de l'intersection de E avec P d'équation z = kx ? on discutera selon les valeurs de k; Meme question avec un plan d'équation z = ky ?

(question après) - Dans cette question, on s'interesse à l'intersection de E avec P d'équation z = [Sqrt(2)/2]x + k avec k > 0  

Donc je ne peux pas utiliser le raisonnement de elhor_abdelali car il a introduit une donnée qui n'est pas dans la question...

De toute manière je comprends pas trop ses histoires de coniques

Merci

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 23:33

En fait, c'est parce que le plan d'équation y = kx passe par le sommet du cône que l'intersection est toujours une droite n'est ce pas Elhor?

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 09-10-07 à 23:48

Tu comprendras mieux avec çà .
Le plan pivote autour du sommet du cône si on peut dire et V2/2 est la valeur
critique de k qui donne une position où le plan rentre dans le cône si je puis dire.C'est à dire est tangent.(sauf erreur)

Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z²

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z². 10-10-07 à 01:22

C'est exact cunctator (belle illustration) :
Si \red\fbox{|k|<\frac{sqrt2}{2}} , l'intersection de P{:}z=kx et de (E) est réduite au sommet O.
Si \red\fbox{|k|=\frac{sqrt2}{2}} ,
l'inclinaison de (P) par rapport à (Oz) est exactement celle d'une génératrice du cône (E) et de ce fait l'intersection est réduite à la droite \fbox{z=kx\\y=0} l'unique génératrice de (E) contenue dans (P) qui est alors tangent à (E).
Si \red\fbox{|k|>\frac{sqrt2}{2}} ,
le plan (P) coupe le cône (E) suivant les deux génératrices \fbox{z=kx\\y=\pm x\sqrt{2k^2-1}}. (sauf erreur bien entendu)

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 10-10-07 à 17:38

Merci j'ai compris d'ou venait le Sprt(2) / 2 et la distinction des 3 cas !

Cependant quand on est dans la premier cas ( |k| < Sprt(2) / 2) comment sais t-on que l'intersection est réduite au sommet 0 ? Meme question dans les deux autres cas.

Est ce que se sont des résultats de cours (dans ce cas la je ne les ai jamais vu) ou est ce une déduction logique des calculs ?

Merci de m'éclairer un peu

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 10-10-07 à 19:13

Bonsoir aspic1

Citation :
Est ce que se sont des résultats de cours (dans ce cas la je ne les ai jamais vu) ou est ce une déduction logique des calculs ?

Cà peut être les deux.
L'équation cartésienne d'un plan est de la forme ax+by+cz+d=0
Si l'une(ou même plusieurs) des constantes a,b,c ou d est nulle c'est un plan particulier.Dans le cas présent d=0 donc le plan passe par O car l'équation
z = kx est toujours vérifiée pour x=0 ,y=0 et z=0, quel que soit k.
De plus b=0 ce qui veut dire que le plan est parallèle à (Oy) en l'occurrence ici il contient toute la droite (Oy)

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 17:18

désolé pour le retard dans ma réponse et merci.

Maintenant la suite de DM :


On s'interesse maintenant à l'intersection de E avec (P): z = [Sqrt(2)/2]x +

- Ecrire l'équation vérifiée pour un point appartennant à (E inter P).

Alors ce point doit vérifier les deux equations donc en résolvant le système je trouve que 2Sqrt(2)x - y² = -2²

(Désolé je ne maitrise pas le Latex donc je ne peux pas écrire les étapes)...

Pouvez vous me confirmer ce résulat ?

Merci :)

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 20:16

Bonsoir, j'espère que la semaine a été bonne. Je découvre le message à l'instant ,je regarde.  

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 20:21

Bonsoir, semaine dur comme d'habitude mais c'est la prépa !

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 20:53

J'espère que tu as vu que (P) est parallèle à (0y) et que lorsque varie le plan reste parallèle.
Ouais c'est bon, la suite maintenant.

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 21:49

Non je n'avais pas vu mais comment tu le vois ?

Sinon la suite :

- Soit A(0,0,) et u0 = 1/Sqrt(3)[Sqrt(2) + )

Montrer que (A,,u0) est un repère orthonormé du plan (P). Pour un point M(x,y,[Sqrt(2)/2]x + ) de (P) dans le repère R et de coordonnées (X,Y) dans le repère (A,,u0), donner l'expression de X et Y en fonction de x et y.

Et je suis coincé déjà poour la première partie de la question, je n'ai aucune idée de commment m'y prendre...

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 14-10-07 à 22:45

Citation :
Non je n'avais pas vu mais comment tu le vois ?

Parce qu'il n'y a pas de y dans l'équation de (P).
(P) coupe (0z) en A(0;0;lambda) car si x=0 , z = lambda
Ce n'est pas si simple.Je vais essayer de t'expliquer et après que tu auras cherché on regardera demain car je n'ai pas trop le temps ce soir.
D'après la figure le plan fait un certain angle avec l'horizontale(le rouge correspond à lambda = 0 et le noir à lambda = 3) donc si tu prends un vecteur colinéaire à i d'origine A, il ne sera pas dans(P)
Par contre comme (P) est parallèle à (Oy) le vecteur j convient.
Il faut que tu démontres que j et Uo sont orthogonaux et que Uo a même direction qu'une droite de (P).Il y a plusieurs méthodes.Ensuite leur norme est 1.
Ensuite exprime M dans les deux repère et trouve une relation entre les coordonnées dans les 2 repères différents.
Bon courage, si Elhor est dans le coin il pourra t'aider.
Sinon à plus tard

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 15-10-07 à 19:59

Bonsoir aspic1
Ton exercice n'est pas une mince affaire.
J'ai fait 2 figures pour y voir plus clair.L'une dans l'espace, l'autre
sur le plan de projection (A;i;k) orthogonalement à la direction j, c.à.d selon l'axe (Oy).
Je t'avais déjà fait remarquer au début que (P) était parallèle à (Oy)(ce qui veut dire que le résultat est indépendant de y, puisque n'intervenant pas dans les équations).
Faisons donc cette projection.
On obtient une droite de coefficient directeur V2/2 qui coupe (Ox) en B.(ce point ne sert pas, c'est juste pour mieux visualiser (P) dans l'espace).
(A;j;u) est un repère orthogonal du plan (P) car i et k sont orthogonaux à j et d'autre part u est un combinaison linéaire de i et de k, donc orthogonal.
Montrons que norme de u(r;s) est égal à 1.
on peut recalculer r et s , ce que j'ai fait, mais comme on nous les donne ne nous plaignons pas.Il suffit d'appliquer la formule de la norme dans le repère (A;i;k) cela fait bien 1.

Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z²

Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z²

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 16-10-07 à 19:07

Salut,

Il fallait pas te prendre la tete pour me faire un schema si beau ! En effet, j'ai une maladie occulaire grave et j'ai perdu toute perspective du mon de qui m'entoure... par conséquent tu comprends pourquoi je n'aime pas la géométrie dans l'espace

Donc pour la norme de u(0) c'est fait ca vaut 1 d'après ses coordonnées. Pas de soucis. Pour montrer que j et u(0) sont orthogonaux j'aimerais bien appliqué le produit scalaire mais je ne connais pas les coordonnées du vecteur j ... Donc ca coince... et pour montrer que u est colinéaire à un droite de (P), vu que je ne vois pas grand chose dans l'espace, j'ai du mal à comprendre !

Merci encore pour ton implication dans mon exo qui est à rendre pour Vendredi (on a un peu de marge ^^)

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 17-10-07 à 21:48

Bonjour Aspic1

Citation :
Il fallait pas te prendre la tete

N'aie crainte, je ne suis pas du genre à me prendre la tête, si je le fais c'est que cela me plaisait.
Citation :
Pour montrer que j et u(0) sont orthogonaux j'aimerais bien appliqué le produit scalaire

Ce n'est pas nécessaire car u est une combinaison linéaire des vecteurs de base du plan (A,i,k) donc dans ce plan et d'autre part (A,j) est orthogonale à ce plan car orthogonale à (A,i) donc à toute droite de celui-ci. Il est vrai que depuis le début il n'est mentionné nulle part d'un repère orthonormal (O,i,j,k) mais on a considéré que c'était le cas.
Ceci dit on connait les coordonnées de j qui sont(0,1,0) et comme yu=0,
u.j =0
Pour la dernière question est ce que ça ira?
y ne change pas mais x et z changent.

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 18-10-07 à 14:45

Salut,

Pour le repère (A, j, u), j'ai compris. Par contre, pour le changement de repère je ne sais pas par ou démarrer... je pense qu'il faut passer par le produit scalaire mais je bloque

Merci, etj'ai interet à pma grouiller demain je dois rendre mon DM ^^

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 18-10-07 à 14:46

En plus j'avais meme pas remarqué mais on fait un changement de repère de 3 dimensions à 2 dimensions....... lol

Posté par
cunctatorre : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 18-10-07 à 18:27

Bonsoir aspic1

Citation :
En plus j'avais meme pas remarqué mais on fait un changement de repère de 3 dimensions à 2 dimensions

Si on peut dire en fait c'est plutôt une projection.
Utilise la deuxième figure pour trouver X en fonction de x, c'est pas trop dur car tu connais les coordonnées de r, maintenant tu fais l'opération inverse.

Posté par
aspic1re : Intersection plans avec un surface de type x² + y² = 2z² 18-10-07 à 21:36

oki merci, j'ai trouvé


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