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intervalle de fluctuation
Bonjour,
j'essaye de faire cet exercice:
"Dans plusieurs régions d'Amérique du Nord, on ajoute une faible quantité de fluor dans l'eau, dans le but de réduire le nombre de caries, en particulier chez les jeunes enfants.
En 2007, la plupart des municipalités du Québec n'avaient pas recours à cette pratique
craignant que l'exposition au fluor entraine des effets secondaires indésirables.
Une étude a été menée dans un quartier d'une ville de Québec, où il n'y a pas de fluor
dans l'eau du robinet.On a constaté que sur un échantillon aléatoire de 400 enfants, 231 avaient des caries.On souhaite comparer cette proportion avec celle de l'ensemble de l'Amérique du Nord qui est environ égale à 43%.
a) formuler clairement l'hypothèse que l'on veut tester dans ce cas
b) déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la proportion d'enfants ayant des caries pour un échantillon de taille 400.
c) au seuil de 95% doit on accepter ou rejeter l'hypothèse ?
Merci d'avance.
(je sauvegarde mon texte avant de continuer)
je souhaiterai tester le fait que le fluor est efficace dans la prévention des caries dentaires
chez les jeunes enfants.
j'ai écrit l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%
la fréquence des caries dans l'échantillon est 231/400, soit 0,57.
deux questions:
- je ne sais pas écrire l'hypothèse mathématique à tester
- le taux de caries dans le quartier testé étant bien supérieur à la borne droite de l'intervalle de fluctuation, je sens bien qu'il faut mettre en place un test unilatéral.
Pour ce faire, j'ai beoin de votre aide.
salut
par hypothèse à mon sens on veut juste verifier que l'echantillon prelevé est représentatif de la population etudiée a savoir si 231/400 peut etre logé dans un intervalle theorique construit avec 95% de chance que la proportion caracterisant la population etudiée (43%) se trouve dans une limite inferieure et superieure ..(avec mes mots)
si 231/400 ne s'y trouve pas alors l'echantillon prelevé n'est pas resprésentatif de la population etudiée
j'ai dit que
où
est la moyenne empirique d'un v.a binomiale
Z suit approximativement une loi normale centrée réduite.
on a , grâce à la fonction Fracnormale
soit
P(Xn < 195) > 0,99
donc 231 est un taux anormalement élevé de caries.
c'est bon ?
@flight: nos messages se sont croisés
si la fréquence de l'échantillon est dans l'intervalle de fluctuation (asymptotique, unilatéral, au seuil de 99%, avec fluor), ça prouverait que la présence de fluor n'est pas une donnée pertinente pour les caries puisque sans fluor, on est quand même situé dans l'intervalle de fluctuation. Il n'en ait rien,dc le fluor est efficace
Bonjour,
C'est un peu l'inconvénient de choisir le forum "reprise d'études"...
Si à aucun moment tu ne dis où tu te situes, il est difficile de te répondre.
On peut envisager quatre façons de traiter l'exercice selon que tu te situes en seconde, première, terminale ou dans le supérieur...
On souhaite comparer cette proportion (231/400) avec celle de l'ensemble de l'Amérique du Nord qui est environ égale à 43%.
L'hypothèse naturelle à faire ici est que la proportion p de caries parmi les enfants du quartier de cette ville du Québec est similaire à celle observée dans la population nationale qui est de 43%, en se basant sur un échantillon aléatoire de n=400 enfants de ce quartier.
En seconde, première et terminale on calculerait l'intervalle de fluctuation de la fréquence f de carries infantiles dans le quartier et on vérifierait si la valeur observée de 231/400 = 57.75% est dans cet intervalle.
En seconde on appliquerait l'intervalle approché (sous condition 0,2 < p < 0,8) :
IF95 = [ p - 1/racine(n) ; p + 1/racine(n) ] = [ 0,43 - 1/20 ; 0,43 + 1/20 ] = [ 38,0% ; 48,0% ]
En première on appliquerait l'intervalle binomial :
IF95 = [ p - a/n ; p + b/n ] = [ 0,43 - 152/400 ; 0,43 + 191/400 ] = [ 38,0% ; 47,75% ]
En terminale on appliquerait l'intervalle normal asymptotique :
IF95 = [ p - 1,96 racine(p(1-p)/n) ; p + 1,96 racine(p(1-p)/n) ] = [ 38,15% ; 47,85% ]
Dans les trois cas, la fréquence observée f=57,75% est largement en dehors de l'IF.
On conclurait donc au rejet de l'hypothèse p = 43% au seuil de 95%...
... ce qui revient à dire que la proportion de carries dans ce quartier n'est probablement pas la même que dans le pays. A ce stade, je ne crois pas qu'on demanderait un test unilatéral : notion non connue au lycée.
Dans le supérieur... compte tenu des pré supposés sur l'effet bénéfique du fluor sur les carries, et partant du fait que la proportion nationale de carries est abaissée grâce au recours au fluor, il est légitime de supposer a priori que le non emploi du fluor dans ce village du Québec entraînera une fréquence de carries plus élevées.
Un test UNILATERAL est donc tout à fait applicable.
Toutefois, ça n'aura pas de conséquence sur la décision puisque un rejet bilatéral est plus fort qu'un rejet unilatéral. Donc on rejettera. Ce qui aurait pu changer, c'est le seuil de confiance du test qu'on aurait pu choisir plus ambitieux (99% par exemple)...
- je ne sais pas écrire l'hypothèse mathématique à tester
H0 : p = 0.43
H1 : p > 0,43 Test unilatéral
- le taux de caries dans le quartier testé étant bien supérieur à la borne droite de l'intervalle de fluctuation, je sens bien qu'il faut mettre en place un test unilatéral.
OUI : un test unilatéral est indiqué... mais certainement pas en regardant les résultats malheureux
!
Tu dois formuler tes hypothèses avant même d'avoir les résultats.
Ici tu t'attends à avoir plus de carries dans ce quartier non fluoré que dans le pays en général (majoritairement fluoré, si on lit entre les lignes de l'énoncé).
Donc tu poses clairement l'hypothèse unilatérale parce que c'est ce à quoi tu t'attends.
L'écart-type sur la fréquence est de l'ordre de 2,5%.
Or à 57,75% on est à 14,75% au dessus de 43%, ce qui représente presque 6 écart-types.
Il s'agit d'un événement "sigma-6"... qui a une chance sur un milliard de se produire.
La p-value de ton test aurait donné un peu plus de 10^-9...
Donc tu aurais rejeté tout test au seuil de 99%, 99,9% ou même 99,99%...
Remarque : la p-value est tellement petite que tu aurais de toutes façons rejeté pareillement l'hypothèse bilatérale à ces seuils là...
OK ?
oui, OK, je te remercie pour tes réponses détaillées qui m'aident beaucoup.
je n'ai pas compris la phrase
"L'écart-type sur la fréquence est de l'ordre de 2,5%. "
Sous l'hypothèse H0, la fréquence va suivre approximativement une loi normale d'espérance p = 0,43 et d'écart-type sigma = racine(p(1-p)/n) ~ 0.025
Observes bien Z... tu calcules en fait : Z = (p-f)/sigma.
... Z suit alors une loi normale standard (centrée réduite).
... et Z mesure l'éloignement de f par rapport à p... mesuré en écart-types.
... Plus cet éloignement est important, plus le résultat observé est invraisemblable au regard de H0.
... Et donc plus on rejettera l'hypothèse.
j'essaye de mettre en place un test unilatéral.
soit Z qui suit la loi normale N(0;1)
ma calculatrice me donne
avec
suit une loi binomiale B(n=400,=p=0,43)
suit approximativement une loi N(0;1)
donc
n=400, p=0,43
donc 231 est hors intervalle.
Donc le fluor est un traitement adéquat contre les caries.
salut
LeDino ::
En première on appliquerait l'intervalle binomial :
IF95 = [ p - a/n ; p + b/n ] = [ 0,43 - 152/400 ; 0,43 + 191/400 ] = [ 38,0% ; 47,75% ]
c'est plutôt [a/n, b/n] avec a et b les plus petits entiers tels que P(X =< a) > 0,025 et P(X =< b) >= 0,975
et évidemment p est quasiment au centre de cet intervalle ....
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