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Introduction aux fonctions logarithmes népériens

Posté par
Samsco
29-04-20 à 18:44

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp

Exercice:

On se propose de déterminer les fonctions de ]0 ; +[ vers , dérivables sur ]0 ; +[ qui transforment les produits en somme , c'est à dire que les fonctions f  qui vérifient la propriété :
Pour tous nombres réels x et y strictement positifs ,f(xy)=f(x)+f(y).      (1)

* Condition nécessaire
On suppose qu'il existe une telle fonction f .

a) En posant x=y=1 , démontrer que f(1)=0

b) On fixe y . Soit la fonction gy: x f(xy)-f(x)-f(y).
* Justifier que gy et dérivable sur ]0 ; +[ et calculer sa dérivée .
* Justifier que gy est la fonction nulle .
*En déduire que pour tout nombre réel x strictement positif , on a : yf'(xy)=f'(x).     (2)

c) L'égalité (2) est vraie pour x=1 et pour tout et pour tout y élément de ]0 ; +[ . On pose : k=f'(1).
Démontrer que f est la primitive sur ]0 ; +[ de la fonction x k/x , qui s'annule en 1.

*Condition suffisante
k étant un nombre réel , la fonction x k/x est continue sur ]0 ; +[ ; elle admet donc des primitives sur cet intervalle . On désigne par fk celle qui s'annule en 1 .
Soit y un nombre réel strictement positif
. On désigne par hg la fonction x fk(xy)-fk(x)-fk(y).
*Verifier que : hy(1)=0
*Justifier que hy est dérivable sur ]0 ; +[ et démontrer que sa dérivée est la fonction nulle .
*En déduire que fk vérifie l'égalité (1).

Les fonctions cherchées sont donc les primitives sur ]0 ; +[ des fonctions x k/x ( k) , qui s'annulent s'annulent en 1.

De telles fonctions sont appelés fonctions logarithmes

Réponses :

a) On a  x=y=1
f(x)+f(y)=f(xy)
f(1)+f(1)=f(1×1)
f(1)=f(1)-f(1)=0

b) On a f(xy)=f(x)+f(y)
f(xy)-f(x)-f(y)=0 <=> gy=0, la fonction  gk appartient à [0 ; +[ donc elle est dérivable sur ]0 ; +[ . (gy)'=0

Posté par
carpediem
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:15

PS : arrête avec ces on a qui sont inutiles ... (du moins à l'écrit ...)

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:16

bonsoir,
pour la question 1 je suis ok.
pour la q2: le fait que gy appartienne à [0;+infini[ ne suffit pas a justifie que la fonction est dérivable. il faut que tu t'appuie sur la définition de la fonction f qui est dérivable.
prend bien en compte que dans cette fonction, y est fixé, la seul variable est x.

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:18

carpediem @ 29-04-2020 à 19:15

PS : arrête avec ces on a qui sont inutiles ... (du moins à l'écrit ...)

Sinon ce que j'ai fait est bon?

Posté par
carpediem
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:20

b/ est insuffisant : voir le msg de Katara

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:28

Katara @ 29-04-2020 à 19:16

bonsoir,
pour la question 1 je suis ok.
pour la q2: le fait que gy appartienne à [0;+infini[ ne suffit pas a justifie que la fonction est dérivable. il faut que tu t'appuie sur la définition de la fonction f qui est dérivable.
prend bien en compte que dans cette fonction, y est fixé, la seul variable est x.

Pour quelle sur dérivable sur [0 ; +[ , elle doit être dérivable à droite en 0 ?

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:37

tu n'as pas besoin d'aller aussi loin, il te suffit de regarder la façon dont est définie la fonction f lorsqu'on te la donne dans l'énoncé et remarqué que la fonction gy est une somme de fonction f. Utilise ces données.
je ne sais pas si j'ai été assez claire

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:45

Les fonctions f sont des fonctions dérivables sur ]0 ; +[  et le fonction gy est une somme de fonctions f donc elle est aussi dérivable sur ]0 ; +[,  c'est ça?

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 19:59

exactement tu y es

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 20:06

Ok
Pour le deuxième point:
Pour tout x,y positifs ,f(xy)=f(x)+f(y)
f(xy)-f(x)-f(y)=gy=0

Pour le 3eme point je ne vois pas comment faire

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 20:20

Pour le 3eme point:
il faut bien faire attention au fait que f(xy) est une composé de fonction:
d'un côté tu as la fonction f et de l'autre la fonction x\times y, avec y une constante.
tu doit être capable de dérivé une composé de fonction (du type u(v) avec u et v deux fonctions)
j'espère avoir été claire

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 21:05

Pourquoi y est une constante ?
Sinon [u(v)]'=a.u'(v) avec v de la forme ax

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 21:40

Ou c'est parce que y est fixée qu'elle est constante .

[f(xy)]'=yf'(x)

f(xy)=f(x)+f(y) , y=cte , f(y)=cte

Donc [f(xy)]'=f'(x)+0=f'(x)
Donc yf'(x)=f'(x)

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 22:20

oui dans le premier c'est bien ce que je voulais dire!
tu as bon dans ton deuxième message.
oui lorsque gy est définie on pose x comme variable, donc y est une constante. du coup tu as bon

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 23:03

OK pour c) comment je peux faire?

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 29-04-20 à 23:22

pour la c), on te dit que l'égalité est vrai pour x=1 et pour tout réel y positif et non nulle.
dans ce cas, tu remplace ton x par 1 dans l'égalité (2) et voit ce que à ça te donne. puis essaie de prouver que la dérivé de la fonction f est k/x mais attention au choix de la variable cette fois ci.

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 10:15

f'(x)=yf'(xy)
f'(1)=yf'(y)
f'(1)= 0

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 16:09

Samsco @ 30-04-2020 à 10:15


f'(x)=yf'(xy)
f'(1)=yf'(y)
f'(1)= 0


alors pour f'(1)=0 c'est ok à condition de préciser que f'(y)=0  car...
pour le reste essaie de poser f'(1)=k dans la deuxième ligne de ton calcul et voit ce que tu peux observer

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 16:16

Avec k=f'(1)
k=yf'(y)
f'(y)=k/y

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 16:21

nickel!

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 17:04

Pour la suite , fk(xy)-fk(x)-fk(y) est la fonction hy et non hg

* Premier point: hy(1)=fk(y)-fk(y)=0

Deuxième point : hy est une somme de fonction f dérivables sur ]0[ donc elle est aussi dérivable sur ]0 ; +[

(hy(x))'=(fk(xy))'-f'k(x)-0
(hy(x))'=yf'k(y)-yf'k(y)=0

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 17:17

3ieme point :
fk(xy)-fk(x)-fk(y) =0 fk(xy)=fk(x)+fk(y)

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:02

pour le 3ème point, je suis d'accord mais il faut quand même justifier que:
fk(xy)-fk(x)-fk(y)=0

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:02

Samsco @ 30-04-2020 à 17:04

Pour la suite , fk(xy)-fk(x)-fk(y) est la fonction hy et non hg

* Premier point: hy(1)=fk(y)-fk(y)=0

Deuxième point : hy est une somme de fonction f dérivables sur ]0[ donc elle est aussi dérivable sur ]0 ; +[

(hy(x))'=(fk(xy))'-f'k(x)-0
(hy(x))'=yf'k(y)-yf'k(y)=0


c'est ok

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:10

Katara @ 30-04-2020 à 19:02

pour le 3ème point, je suis d'accord mais il faut quand même justifier que:
fk(xy)-fk(x)-fk(y)=0

D'accord
3ieme point :
hy(x)=fk(xy)-fk(x)-fk(y)
Or fk(xy)=fk(x)+fk(y)
donc hy(x)=fk(x)+fk(x)-fk(x)-fk(y)=0

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:13

non justemebt tu ne peux pas utiliser l'égalité (1) vu que tu dois prouver que fk la vérifie.
ce qu'il faudrait que tu prouve c'est que ta fonction hy soit la fonction nulle sachant que sa dérivé est nulle et que hy(1)=0
et la tu aura prouver fk(xy)-fk(x)-fk(y)=0

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:18

Bon voilà
h'y(x)=0 donc hy=c où c=cte
Or hy(1)=0
Vue que "c" n'est pas une variable alors hy est est forcément nulle

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:28

c'est tout a fait ça! du coup ta justification est complete!

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:31

Cool merci pour tout

Posté par
Katara
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:43

De rien   
bonne soirée

Posté par
Samsco
re : Introduction aux fonctions logarithmes népériens 30-04-20 à 19:45

Bonne soirée à vous aussi



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