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Invariance par transformation de Lorentz : Problème de calcul

Posté par
Psychosmose 07-05-08 à 13:27

Bonjour, J'ai un petit problème ... de calcul !

Pour une meuilleur lisibilité des expressions, vous pouvez lire ce message au format .pdf à cette adresse :

Je n'arrive pas à montrer l'invariance par transformation de Lorentz : s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}=c^{2}\overline{t}^{2}-\overline{x}^{2}=\overline{s}^{2}
depuis la relation de Lorentz :
\left(\begin{array}{c} \\ \overline{ct}\\ \\ \overline{x}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \\ \gamma &  -\beta\gamma\\ \\ -\beta\gamma &  \gamma\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \\ ct\\ \\ x\end{array}\right)
avec : \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}} et \beta=v/c.

En utilisant un logiciel de calcul formel, ok, ça marche ... Mais je n'y arrive pas à la main..

Voici ma démarche : J'explicite d'abord
\overline{ct}=\frac{ct-vx/c}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
et
\overline{x}=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Ensuite il faut calculer \overline{s}^{2}:
\overline{s}^{2}=\overline{ct}^{2}-\overline{x}^{2}\\&=\left(\frac{ct-vx/c}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)^{2}-\left(\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)^{2}\\&=\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\left(\left(ct-vx/c\right)^{2}-\left(x-vt\right)^{2}\right)\\&=\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\left((ct)^{2}+(vx/c)^{2}-2tvx-x^{2}-(vt)^{2}+2xvt\right)\\&=\frac{(ct)^{2}-x^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}+\frac{(vx/c)^{2}-(vt)^{2}}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

Et ici je suis un peu bloqué .. inutile de vous écrire la suite de mes calculs car c'est ensuite du bidouillage qui ne me mène nulle part.

Je devrais obtenir \overline{s}^{2}=\cdots=c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2}\Longleftrightarrow\mbox{Invariance de Lorentz}

Quelqu'un peu il m'aider ??

MERCI beaucoup d'avance !

Posté par
LeHiboure : Invariance par transformation de Lorentz : Problème de calc 07-05-08 à 17:06

Bonjour,

Tu es presque au bout :
- regroupe tes deux termes, c'est facile, ils ont le même dénominateur
- au numérateur, regroupe les termes en t² et les termes en x², en mettant le tout sous la forme A(v²-c²)t² - B(v²-c²)x² (c'est faisable)
- réécris ton dominateur comme (c²-v²)/c²
- élimine le terme (c²-v²) entre numérateur et dénominateur
Et tu as fini !


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