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Inverse de Matrice

Posté par
matheux14 24-02-22 à 20:55

Bonsoir

Soit A =\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\\ 2 & 5 & 7 \\\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} ; B =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\\ 1 & 2 & 3 \\\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} et C =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\\ 1& 2 & 3 \\\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}

1-a) Par des opérations élémentaires déterminer le rang respectif de B et C.

b) Sont-elles inversibles ? (déduction)

2-a) Trouver une matrice élémentaire E_1 telle que B =E_1 A. À l'aide des opérations élémentaires calculer E^{-1}_{1}

b) Trouver une matrice élémentaire E_2 telle C = E_2 B. À l'aide des opérations élémentaires calculer E^{-1}_{2}.

c) En déduire une matrice P inversible, telle que C = PA. Calculer p^{-1}

3-a) Vérifier que A =\begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\\ -4 & 1 & -1 \\\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} est l'inverse de A.

b) En déduire l'inverse de B et de C.

1) J'ai échelonné les deux matrices B et C et je trouve B =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\\ 1 & 2 & 3 \\\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\  0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} donc rg(B) = 3.

C =\begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\\ 1& 2 & 3 \\\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\  0 & 1 & 0 \\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} donc rg(C) = 3

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 25-02-22 à 00:28

b) B et C sont des matrices carrées d'ordre 3 et de rang 3 donc det(B) = 3 et det(C) = 3.

B et C sont donc inversibles.

2-a) B = E1 A

BA-1 = E1

E_1 = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\\ 1 & 2 & 3 \\\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

*E_1 ^{-1} = E_1

b) C = E_2 B \\\\ CB^{-1} = E_2

B^{-1} =  \begin{pmatrix} -2 & \dfrac{27}{2} & \dfrac{17}{2} \\ 1 & -4 & -1 \\ 0 & -1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} et E_2 =  \begin{pmatrix} 1 & 0 & \dfrac{17}{2} \\\\ 0 & \dfrac{5}{2} & 5 \\\\\ 0 & -\dfrac{7}{2} & -\dfrac{11}{2} \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Inverse de Matrice 25-02-22 à 10:22

Bonjour,

En vitesse car je ne reste pas.

Citation :
B et C sont des matrices carrées d'ordre 3 et de rang 3 donc det(B) = 3 et det(C) = 3.
C'est faux , le rang égal à 3 permet de dire que les déterminants ne sont pas nuls, c'est tout. B et C sont inversibles, oui.

Calcul de E_1. Tu triches parce qu'on t'a donné A^{-1}. B se déduit de A en échangeant les lignes 1 et 2. Donc revoir les règles concernant les matrices élémentaires et les utiliser pour déterminer E_1 directement.

Pour E_2. Même remarque, et là c'est bien pire. B^{-1} et E_2    sont fausses. Remarquer que C, c'est B dans laquelle on a remplacé L_3 par L_2+L_3

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 25-02-22 à 13:05

Citation :
Remarquer que C, c'est B dans laquelle on a remplacé L_3 par L_2+L_3


D'accord mais comment est cela pourrait m'aider à E2 et l'inverse de E2 ?

Posté par
GBZMre : Inverse de Matrice 25-02-22 à 17:31

Bonjour,

Ajouter la 2e ligne à la 3e revient à multiplier à gauche par une matrice "élémentaire". Laquelle ?

On dirait que tu as zappé dans ton cours le lien entre opérations élémentaires sur les lignes et multiplication à gauche par des matrices élémentaires.

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 25-02-22 à 23:08

Citation :
Remarquer que C, c'est B dans laquelle on a remplacé L_3 par L_2+L_3


Merci, du coup de même pour la matrice identité.

Posté par
larrechre : Inverse de Matrice 25-02-22 à 23:11

Posté par
larrechre : Inverse de Matrice 26-02-22 à 08:45

Il serait quand même bienvenu d'être un peu plus clair...

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 26-02-22 à 23:13

Désolé j'ai eu des DS ce matin du coup je n'ai pas pu en dire plus..

Alors je vais vous le détailler.

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 26-02-22 à 23:59

Pour trouver E1 :

On remarque que :

C = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} L_1 \iff L_2 \end{pmatrix} \\\ \sim \begin{pmatrix} 2 & 5 & 7 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} _{L_3 \Longleftarrow L_3 +L_2}

Donc on va effectuer les mêmes opérations L_1 \iff L_2 et L_3 \Longleftarrow L_3 +L_2 sur la matrice unité.

(Cf l'opération élémentaire r \neq s, ~ (I_p -E_{rr} -E_{ss} +E_{rs} + E_{sr}), ~E_{rr} ,~E_{ss}, ~ E_{rs} ,E_{rs} \in M_{q})


Et on trouve bien \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Posté par
larrechre : Inverse de Matrice 27-02-22 à 08:40

Bonjour,

Erreur de notation, C'est P que tu donnes là.

Plus simplement P=E_2E_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Bon dimanche, il te faut décompresser, manifestement.

Posté par
matheux14re : Inverse de Matrice 27-02-22 à 10:54

Merci et à vous de même.


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