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inversibilité et polynôme caract d'une matrice de R

Posté par
Racinecubix 23-06-08 à 11:51

Bonjour, j'ai un problème avec l'exercice suivant:
on considère la matrice A $\in$ $M_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall$ (i,j) $\in$ $\mathbb{R}^2$ est strictement positif et que $a_i_j \times a_j_i$ =1
Montrer que A n'est pas inversible $\Longleftrightarrow$ son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ .

cela revient donc à montrer que A est trigonalisable sur $\mathbb{R}$ SSI 0 est valeur propre mais je ne vois pas l'astuce.
J'ai tenté de raisonner sur la trace: on voit que trace(A)=n et que trace( $A^2$ )= $n^2$ mais ça ne mène nulle part...
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par re : inversibilité et polynôme caract d'une matrice de R 23-06-08 à 12:00

oups y'a une partie qui est pas passée donc je reprends $\forall (i,j) \in \mathbb{R}$ , $a_i_j$ est positif strict et $a_i_j\times a_j_i =1$

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