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Posté par un1
Bonjour
Je vous remercie de bien vouloir m'aider à résoudre l'exercice suivant:
Soit A un anneau, on se donne un élément a de A vérifiant ab=1 pour b appartenant à A.
D'autre part ax=0 pour un nombre fini d'éléments de A.
Montrer que a appartient à A*.
Bonjour.
J'appelle e l'élément neutre du produit.
On voit que : pour tout n > 0, a.(ba)n = a
Donc : pour tout n > 0, a.[(ba)n -e] = 0
D'après l'énoncé l'équation ax = 0 n'a qu'un nombre fini de solutions. Cela signifie qu'il existe n0 > 0 tel que (ba)n0 = e
Or, on voit que pour tout k > 1, (ba)k = ba
En regroupant ces deux derniers résultats : ba = e
Conclusion : a est inversible et b = a-1
A plus RR.
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