Que sont les 4-inversions ? les inversions  tri-dimensionnelles ?

Que veut dire " être réductible à des rotations du  système de coordonnées " ?  

En trois dimension, outre la translation du système de coordonnées et sa rotation , il existe encore une transformation : c'est l'inversion   se traduisant par un changement simultané des signes de toutes les coordonnées : x-->-x  ,  y-->-y  , z -->-z
J'imagine qu'on peut l'étendre à 4 dimensions : x-->-x  ,  y-->-y  , z -->-z  , w -->-w

Réductible à des rotations signifie que l'on peut décomposer une inversion I en une succession de rotations : I=R₁ ° R₂° ....

bonjour,

Comment tu trouves det(R_i)=1 et det(I)=-1 ???

re,
Une rotation est une isométrie vectorielle,elle préserve les normes et par suite l'orthogonalité, elle possède une valeur propre égale à 1, Dans une base adaptée, la matrice 3x3 s'écrit avec un 1 en a₁₁ et un bloc qui est une matrice de rotation de R². c'est une isométrie directe.

La matrice de l'homothétie de rapport -1 dans R3 est composée de -1 sur sa diagonale à 3 places, elle peut se décomposer en un produit de 3 symétries vectorielles orthogonales ( donc laissant un plan vectoriel fixe et envoyant le vecteur normal en son opposé)  c'est une isométrie indirecte

Dans R4 l'homothétie vectorielle de rapport -1 est la composée de 2 isométries vectorielles directes.

Merci! Je vais approfondir cela en détail ...

Bonjour !
Je n'arrive pas à comprendre ce qui pousse les gens à baptiser d'un nom connu (inversion) une situation qui n'a rien à voir !

Pour tout matheux ayant fait un peu de géométrie une "inversion" c'est quelque chose de précis qui n'a rien à voir avec l'homothétie de rapport .

bonjour,
en effet luzak, je ne sais pas où mikel83 a trouvé son texte, personnellement je n'ai jamais vu le mot inversion pour parler d'une homothétie de rapport -1, surtout que inverse et opposé ne signifie pas la même chose. (à moins que ce soit deux synonymes du mot symétrique dans un groupe selon que la loi soit du genre multiplicative ou additive)

Bonjour, un petit rappel pour aider un peu(j'aide pas souvent non plus)

Dans le plan
une inversion consiste à se donner un point O du plan et un nombre réel non nul p
l'inversion de pôle O et de puissance p notée est la transformation qui pour chaque point M du plan fait correspondre un point situé sur (OM) et tel que (mesures algébriques)

on peut écrire
le point O est le pôle ou centre d'inversion
p la puissance d'inversion
M et sont dits inverses ou réciproques
i est la transformation par rayons vecteurs réciproques (on dit aussi inversion)
les vecteurs et   sont appelés rayons vecteurs réciproques

Si p est positif les rayons vecteurs   et   sont de même sens
Si p est négatif  les rayons vecteurs   et   sont de sens opposés

Lorsque M=O le point est envoyé à l'infini(selon le signe de p)

dans une inversion de pôle O et de variable M

les mesures algébriques sont définies par rapport à un vecteur directeur
de la droite (OM)
c'est donc un vecteur unitaire

selon

avec le produit scalaire

lorsque alors

Bonjour !
"luzak", "domorea" , vos remarques sont parfaitement judicieuses, et j'ai eu du mal dans mes recherches personnelles à  rapprocher la définition Mathématique de l'inversion, et celle utilisée par Landau et Lifchitz  dans le tome III de Physique Théorique, §30 page 119 ...

un même mot pour deux définitions différentes dans deux domaines différents

là ça ne me perturbe pas!

la définition que j'ai donnée plus haut est celle d'inversion en géométrie

par contre en physique … ça doit certainement pas signifier la même chose, ceci dit c'est un forum de maths

amethyste
Les Mathématiques sont les outils de la Physique !!!

Mike non, les mathématiques sont les outils de personne : elles n'ont pas besoin de la physique

chez moi dire d'une chose A que c'est l'outil d'une autre chose B c'est comme de dire que  A est esclave de B

amethyste
Hello,! je n'ai pas dit que les Mathématique avait besoin de la Physique, mais l'inverse: on utilise les outils Mathématiques pour développer les concepts théoriques de la Physique !!!

pardon Mike

alors dans ce cas le troisième millénaire pour la physique consistera à s'affranchir des maths comme les maths se sont elles même affranchies il y a près de cent mille ans environ de la physique lorsque le singe encore singe et pas encore humain compris que le soleil n'est pas un cercle mais un idéal représentatif d'un cercle

Rebonjour(une idée farfelue mais  à défaut de ne rien avoir du tout)

Ne connaissant pas la définition* en physique d'une inversion(qui s'effectue si j'ai bien compris en dimension supérieure à deux )  et disposant de la définition d'une inversion en géométrie qui elle s'effectue comme une transformation du plan (voir avant avant dernier post la définition que j'ai posté )

là dans "ma" définition on a fait quoi d'exceptionnel ? strictement rien!
Et tous les calculs effectués se font avec un produit scalaire (et pour la norme des vecteurs c'était le carré du produit scalaire de ces vecteurs par eux mêmes)

le reste que j'ai écris c'est juste du calcul

alors je me suis dit comme ça ….regarde ce que ça donne en dimension 3

(ou bref en dimension n finie) tous ces calculs sont encore  faisables mais évidemment ça n'a plus rien à voir avec une inversion en géométrie mais comme ce n'est pas le sujet de ce sujet

évidemment ce qui ne changera pas ici c'est qu'une inversion de pôle O d'un point M sera encore un point qui sera situé sur la droite (OM) vu que le point image de M sera un translaté du point M par le vecteur

* ça aurait été bien de donner cette définition non?  

edit ( et pour la norme des vecteurs c'était la racine carré du produit scalaire de ces vecteurs par eux mêmes)


autre edit \overrrightarrow OM en Latex pour dire   

autre edit

vu que le point image de M par l'inversion sera un translaté du point M par un produit par un scalaire du vecteur

pour le dire encore plus simplement ton inversion en physique (j'attend encore la définition d'une inversion en Physique)

ça se trouve c'est juste une inversion dans un sous plan affine de dimension 2 d'un espace affine de dimension n

avoue que si c'est ça franchement on aura beaucoup discuté pour rien