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Niveau Licence Maths 1e ann
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Inversions

Posté par
mint02
16-06-22 à 10:55

Bonjour,
J'ai un exercice de géométrie (hyperbolique) qui s'énonce comme suit: Soit \iota l'inversion par le cercle de l'unité S1. Trouver l'image \iota(d) de la droite d donné par l'équation x = 2.  

Pour l'instant j'ai répondu que l'inversion de S1: \iotaS1(z) = 1/ z. Donc le \iotaS1(d) se situe sur la droite \overline{Ox}.
Au-déla, je ne sais pas comment répondre à la question...
Merci en avance

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inversions 16-06-22 à 11:17

Bonjour, l'inversion c'est OM.OM' = 1
ou encore x'= x/(x²+y²) et y'=y/(x²+y²)

en nombre complexe c'est z' = 1/\bar{z}

sachant que x=2 tu dois trouver une relation entre x' et y'.

tu devrais aussi savoir que l'inverse d'une droite est un cercle ça devrait guider tes recherches.

Posté par
mint02
re : Inversions 16-06-22 à 12:39

Ah oui c'est vrai, je me suis trompée. Merci pour vos  indications.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inversions 16-06-22 à 13:19

Tu es parti par les nombres complexes, continue, c'est une bonne idée.
z= 2 + it le conjugué vaut donc .... et z' = .... ? d'où x' et y', etc...

Posté par
mint02
re : Inversions 18-06-22 à 12:31

z'=1/2-it et x'= 2/4+t2 {en disant que zx\overline{z} = x2+y2}.
et y'=0. De plus t2=-3 car 1=4+t2. Donc, x'= 2 [cos\alpha] et y'=0 [sin\alpha] et du coup l'inversion de la droite d est égal à 2.. ce qui est faux  vue que l'inversion de la droite x=2 est un cercle passant par le centre de S1. Selon moi, le x de l'image de la droite d se trouve entre 0 et 1 visuellement. Je ne vois pas où j'ai fait ma faute. Pourriez-vous me donner la réponse svp.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Inversions 18-06-22 à 14:46

Citation :
et y'=0



z' = 1/(2-it) = (2+it)/(4+t²) c'est juste (n'oublie pas de mettre des parenthèses !)
donc
x' = 2/(4+t²) et y' = t/(4+t²)
il faut que tu élimine t entre ces deux équations. y'/x' = t/2
remplace t par 2y'/x' dans x' = 2/(4+t²) et ça te donnera l'équation de la transformé.

Posté par
lake
re : Inversions 23-06-22 à 15:08

Bonjour,

Autre solution :
L'équation complexe de la droite d'équation cartésienne x=2 est z+\bar{z}=4

z\not=0 et z'=\dfrac{1}{\bar{z}}\not=0

\begin{cases}z+\bar{z}=4\\z'=\dfrac{1}{\bar{z}}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases}\dfrac{1}{z'}+\dfrac{1}{\bar{z'}}=4\quad(1)\\z=\dfrac{1}{\bar{z'}}\quad(2)\end{cases}

On peut conserver l'équivalence des systèmes en écrivant l'équation (2) à chaque étape. Je me limite à l'équation (1):

  4z'\bar{z'}-z'-\bar{z'}=0

  \left(2z'-\dfrac{1}{2}\right)\left(2\bar{z'}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{4}

  \left|z'-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{1}{4}

Posté par
mint02
re : Inversions 25-06-22 à 13:42

Bonjour,
Désolée pour la réponse tardive.
Je n y ai pas pensé à résoudre cela de cette manière ainsi merci de me l'avoir montrée.



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