salut

une symétrie centrale est une rotation ...

Oui mais une rotation peut ne pas être une symétrie orthogonale?
Je ne comprends pas ta réponse carpediem?

N'est pas...
Mais c'est par contre la composée de symétries orthogonales. Mais la question est de montrer qu'une involution est une symétrie orthogonale, et pas que est engendré par les symétries orthogonales(et ce n'est pas ce que montre ma preuve).

Bonjour,

Déjà, quelque chose de pas clair dans le premier messager, mais qu'on peut reconstituer grâce au titre : ce qui est demandé de montrer, c'est que les isométries affines involutives sont les symétrie orthogonales.
Commencer par le cas linéaire est bien sûr raisonnable. La symétrie centrale est bien une symétrie orthogonale : c'est la symétrie orthogonale par rapport au sous-espace nul. De même, l'identité est une symétrie orthogonale (par rapport à quel sous-espace ?).
Après, il faut passer au cas affine ...

GBZM
Pour le cas affine, on a que pour tout point :
. Donc pour tous points :
, d'où l'on tire .
Ainsi l'application linéaire associée à une application affine involutive est involutive. est une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace . est donc une symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace affine de direction .

Oups, je voulais écrire:
Pour tous points :
d'où

Et la première ligne bien sûr:

Oui, c'est malhonnête de ma part. Je n'étais moi-même pas convaincu. Ce que je sais, c'est que le vecteur   est l'image de par rapport à .  Je sais donc que c'est cette information qu'il faut exploiter. Je vais creuser dans ce sens.

Soit .
On a pour tous après calculs, que :
, ce qui signifie que pour tout couple de points de l'ensemble , le vecteur est dans . Il reste à montrer que est un sous-espace affine?

Autrement dit, . Oui, tu peux montrer que c'est un espace affine.

Oui, écrit comme ça c'est beaucoup plus parlant
Merci beaucoup pour ton aide.

Ça ne termine pas l'histoire !

J'ai quand même l'impression d'avoir montré que:
1) si est involutive, alors c'est la symétrie orthogonale par rapport à
2) si une application affine est involutive, alors son application linéaire l'est aussi et elle la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace affine.
Non?

Disons que je peux raisonner comme en géométrie "classique" mais je crains de dire une ânerie.
En fait je voulais montrer que était "médiateur" en quelque sorte. Bon, je dois, selon ce point de vue encore montrer que , pour obtenir "l'équidistance+l'orthogonalité".
On a , d'où l'on tire ce qu'on veut.
Mais j'hésite toujours à faire des raisonnements "classiques de géométrie" en dimension supérieure...

Je ne voulais pas trop montrer ce qui s'est passé dans la cuisine, mais ce n'est pas très propre...
.

OK, tu utilises bien que est une involution.
Bien sur, peut être une symétrie orthogonale sans que le soit.

Ah oui bien sûr, je comprends mieux ta question précédente du coup . Merci beaucoup!

D'ailleurs, je viens d'y penser mais l'identité vectorielle est un exemple justement puisque les translations affines ont pour partie linéaire l'identité

Sais-tu ce qu'est une symétrie glissée ?

La composée d'une translation et d'une symétrie orthogonale. J'ai triché bien sûr .

Plus exactement la composée d'une symétrie et d'une translation parallèle à l'espace fixe de la symétrie.

En fait je n'ai pas précisé parce que je pensais que ce n'était pas important ici? On(enfin je) cherche un exemple d'isométrie non involutive de partie linéaire involutive. Alors la composée de deux isométries affines ayant pour partie linéaire la composée des parties linéaires, on en déduit que la partie linéaire de est , qui est involutive. J'ai donc bien l'impression que la direction de translation ne joue pas dans l'exemple?

La symétrie orthogonale par rapport à une droite suivie d'une translation de vecteur orthogonal à cette droite reste une symétrie orthogonale, non glissée. Donc oui, la direction de la translation joue !